PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME
relative à la surface; ainsi N^'^ étant nul, lorsque Torigine de R est au centre de gravité du sphéroïde, on a pareillement Y^'^=o.
32. L'état permanent de l'équilibre des corps célestes nous fait connaître encore quelques propriétés de leurs rayons. Si les planètes ne tournaient pas exactement, ou, du moins, à très-peu près, autour d'un de leurs trois axes principaux de rotation, il en résulterait, dans la position de leurs axes de rotation, des changements qui seraient sensibles, surtout pour la terre; et comme les observations ]es plus précises n'en font apercevoir aucun, nous devons en conclure que depuis longtemps toutes les parties des corps célestes, et principalement les parties fluides de leurs surfaces, se sont disposées de manière à rendre stables leur état d'équilibre, et par conséquent leurs axes de rotation. Il est, en effet, très-naturel de penser qu'après un grand nombre d'oscillations, elles ont dû se fixer à cet état, en vertu des résistances qu'elles éprouvent. Voyons maintenant les conditions qui en résultent dans l'expression des rayons des corps célestes.
Si l'on nomme Xy j, z les coordonnées rectangles d'une molécule dMàxx sphéroïde, rapportées aux trois axes principaux, l'axe des X étant l'axe de rotation du sphéroïde, on aura, par les propriétés de ces axes, démontrées dans le premier livre,
o=fxy.dMy o = fxz.dM, o = fyz.dM,
les intégrales devant s'étendre à la masse entière du sphéroïde. B, étant le rayon mené de l'origine des coordonnées à la molécule dM, B étant l'angle formé par R et par l'axe de rotation , et lïT étant l'angle que le plan formé par cet axe et par R fait avec le plan formé par cet axe et par celui des deux axes principaux , qui est l'axe des y , on aura
x:=R.yL, y=R.^i — (X*. COS.®, z=R.\/i — jx^-sin.®,
dM=p. R\ dR.dfi. dis.
Les trois équations données par la nature des axes principaux de rotation deviendront ainsi
o=^fp.R\dR.d\L. d^ . |x . \/i — (x*. cos.tzp, o = /p./{*,c//î.c/(x.c/taf .jx.y/i — flTsin.®, o = fp. R\dR.dll. d'à. (i — fjt') .sin. i^.
Concevons l'intégrale fp.R^.dR prise par rapport à jR, depuis 7{=zo jusqu'à la valeur de /{ à la surface du sphéroïde, et développée dans une suite de la forme U^'^ -+- U^'^ H- U'*^ -f- (7 '^ -h etc. f/^'^ étant, quel que soit i, assujetti à l'équation aux différences partielles
on aura, par le théorème du n"* 12, lorsque i est différent de 2, et en observant que les fonctions (x.yi— (x*. cos.®, (x.\/i— /x'-sin.®, et (i — (x').sin.2taf, sont comprises dans la forme U^^K
o = fU^'\ dfi.d'cs .yL. \/i — (x*. cos.®, o = /f/ ^'\ rf(x . cte . (X . y/ 1 — |x\ si n • tar , o= fU^'Kdii.d'CS . (i — (x') .sin.2«.
Les trois équations relatives à la nature des axes de rotation deviendront ainsi
o = fU^^K rfjx . cfe . (X . y/i — (x\ cos.tar, o = fU'*K dyL.d'us .yL. \/i — (x*. sin. tfy, o = fil^*Kd^.d'cs. ( 1 — (x*) . sin.a®.
Ces équations ne dépendent donc que de la valeur de U^*^ : cette valeur est de la forme fl". (fjt*- y) + ^'.(x.\/i — (x*.sin. taf +
