PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIEME

+ //^(x.y'l— fx^cos.t[y + ^^(l--lx•).sm.2taf+J^^'^(l--(x') .cos.2« : en la substituant dans les trois équations précédentes, on aura

C'est à ces trois conditions que se réduisent les conditions nécessaires pour que les trois axes des x, des j et des z soient de véritables axes de rotation, et alors f/-'^ sera de la forme

/f.(ft*— |)-4-H".(l— jX'j.COS. 2«.

Lorsque le sphéroïde est un solide peu différent de la sphère, recouvert d'un fluide en équilibre, on a /î = a. (iH-aj), et par conséquent

fp.R\dR = \.fp.d.\a\[i-^h(ty)\.

Si Von substitue pour y sa valeur 7^"^-+- T^' H- F^'^-h- etc. on aura

L'équation (2) du n° 29 donne à la surface du sphéroïde

y^*' etZ^*\ dans le second membre de cette équation, étant relatifs à la surface; on a donc

La valeur de Z^*^ est de la forme

— -. ((X* — y)-|-(jf'. (X. y/i — (X*. sin.tar -f- (jf". jx . \/ 1 — (x\ cos.®

-+-(7^ (1 — (X*) .sin. 2'cy^-(/'^ (1— (x*) .cos. 2taf;

et celle de F^'^ est de la forme

— h. (jx* — y ) -h A'. (X . y/ 1 — (x*. sin. tzp -4- A\ (X . \/ 1 — (x*. cos.'CT

h"'.[ 1 — (X*) .sin. 2taf-f-/l'^ (1 — ix').cos.2'CT.

En substituant dans Téquation précédente ces valeurs, et H.[fi' — y)-|-jF/'^(l — |x*).cos. 2^, au lieu de U^*\ on aura

Telles sont les conditions qui résultent de la supposition que le sphéroïde tourne autour d'un de ses axes principaux de rotation. Cette supposition détermine les constantes h!, h\ h" au moyen des valeurs àe g, g\ g" ; mais elle laisse indéterminées les quantités h et /i"^, ainsi que les fonctions Y^^\ Y^''\ etc.

Si les forces étrangères à l'attraction des molécules du sphéroïde se réduisent à la force centrifuge due à son mouvement de rotation, on aura 5f'=o, g"=Oy g"'=o; partant A=o, ^"=0, A*=o, et l'expression de Y^*^ sera de la forme

— h. (fjt' — y)-+-/^'^ (i — |x') .COS. 2tU.

33. Considérons l'expression de la pesanteur à la surface du sphéroïde. Nommons p cette force ; il est aisé de voir, par le n** 25, que l'on aura sa valeur en difiFérentiant le second membre de l'équation (i) du n** 29 par rapport à r, et en divisant sa difiFérentielle par — dr^ ce qui donne à la surface

— ar. i 2 . Z«-4- a . Z«-h 3 r. Z'^-f- 4 r'. Z'*' -netc. | ,

ces intégrales étant prises depuis a=o jusqu'à a=i. Le rayon r à la surface est égal à i-f-aj ou égal à