PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

TéquatioD (2) du n** 29 donnera donc à la surface,

= 6. fp.d. (a*/t)H-5. (ip — 2/1) . fp.d.a\ (1)

Cette équation renferme la loi qui doit exister pour l'équilibre , entre les densités des couches du sphéroïde et leurs ellipticités ; car le rayon d*une couche étant a. j i-^-olY^'^ — ak.[\L^ — \) \ ; si Ton suppose, comme cela est permis, y^"^ = — y/e, ce rayon devient a. {1 — aA.fJt* j, et alors a/t est l'ellipticité de la couche.

k. la surface du sphéroïde, le rayon est 1 — a/i.fx'; d'où Ton voit que les diminutions des rayons, en allant de Téquateur aux pôles, sont proportionnels à jx*, et par conséquent au carré du sinus de la latitude.

L'accroissement des degrés du méridien, de Téquateur aux pôles, est, par le numéro précédent, égal à 3a/tc.(x*, c étant le degré de Téquateur; il est donc encore proportionnel au carré du sinus de la latitude.

L'équation (1) nous montre que les densités étant supposées diminuer du centre à la surface, l'ellipticité du sphéroïde est moindre que dans le cas de l'homogénéité, à moins que les ellipticités n'aillent en augmentant de la surface au centre, dans un plus grand rapport que la raison inverse du carré des distances

à ce centre. En effet, si l'on suppose h=^ —^ on aura

fp .d.[ a*h )i=ifp.d.[a^a) = u .fp .d.a' +f[du .Ja\ dp ) .

Si les ellipticités croissent dans un moindre rapport que — , u

augmente du centre à la surface , et par conséquent du est positif; d'ailleurs dp est négatif, par la supposition que les densités diminuent du centre à la surface; ainsi / [dii.fa^dp) est une quantité négative, et en faisant à la surface,

fp.d{a'h) = {h-f).fp.d.a\

/ sera une quantité positive. Cela posé, l'équation (i) donnera

clIi sera donc moindre que -^ , et par conséquent il sera plus

petit que dans le cas de Thomogénéité où, dp étant nul, ^ est égal à zéro.

Il suit de là que dans les hypothèses les plus vraisemblables , Taplatissement du sphéroïde est moindre que — r-^ ; car il est naturel de penser que les couches du sphéroïde sont plus denses en approchant du centre, et que les ellipticités augmentent de la

surface au centre, dans un moindre rapport que —, ce rapport

donnant un rayon infini aux couches infiniment voisines du centre, ce qui est absurde. Ces suppositions sont d'autant plus vraisemblables, quelles deviennent nécessaires dans le cas où le sphéroïde a été originairement fluide: alors, les couches les plus denses sont, comme on Ta vu, les plus voisines du centre, et les ellipticités, loin d'augmenter en allant de la surface au centre, vont au contraire en diminuant.

Si Ton suppose que le sphéroïde soit un ellipsoïde de révolution recouvert d'une masse fluide homogène d'une profondeur quelconque; en nommant a le demi-petit axe de l'ellipsoïde solide, et (thi son ellipticité , on aura à la surface du fluide

fp .d.[a'h)=:h—a\K -^ fp .d.[a'h)i

l'intégrale du second membre de cette équation étant prise relativement à l'ellipsoïde intérieur, depuis son centre jusqu'à sa surface, et la densité du fluide qui le recouvre étant prise pour