Z^^H \ r -^ etc

expression dans laquelle on doit observer que -5-. /p. rf. a' exprime la masse du sphéroïde, puisque, dans le cas de r infini, la valeur de V est égale à la masse du sphéroïde divisée par r. Cela

posé, l'attraction du sphéroïde parallèlement à r sera — (";j~)î Tattraction perpendiculaire à ce rayon, dans le plan du méridien, sera — ^- — —. (-7—); enfin l'attraction perpendiculaire à

'^ \ ^^ / /dV\

ce même rayon dans le sens du parallèle sera ^ ' . L'ex-

pression de F devient, relativement à la terre, supposée elliptique,

M étant la masse de la terre.

36. Quoique la loi de l'attraction en raison inverse du carré

de la distance soit la seule qui nous intéresse, cependant l'équation (i) du n** 10 ofire une détermination si simple de la pesanteur à la surface des sphéroïdes homogènes en équilibre, quel que soit Texposant de la puissance de la distance à laquelle l'attraction est proportionnelle, que nous croyons pouvoir la présenter ici. L'attraction étant comme une puissance quelconque n de la distance, si l'on désigne par dm une molécule du sphéroïde, et par^ sa distance au point attiré, l'action de dm sur ce point, multipliée par l'élément — df de sa direction, sera — dm.f'^.df.

L'intégrale de cette quantité , prise par rapport à f, est — — ;

et la somme de ces intégrales, étendue au sphéroïde entier, est

y , en supposant, comme dans le n**10, V=ff'''^\dm.

Si le sphéroïde est fluide, homogène, et doué d'un mouvement de rotation, et s'il n'est sollicité par aucune attraction étrangère, on aura à sa surface, dans le cas de l'équilibre, par le n*'23,

constante = ^" i 5^ • ^*- ( ^ — f^l »

r étant le rayon mené du centre de gravité du sphéroïde à sa surface, et g étant la force centrifuge à la distance i de l'axe de rotation.

La pesanteur p à la surface du sphéroïde est égale à la différentielle du second membre de cette équation, prise par rapport à r et divisée par — dr; ce qui donne

Reprenons maintenant l'équation (i) du n** 10, qui est relative à la surface ,

., (yi+i).i4 {n+\).V A — — r H^* î

cette équation, combinée avec les précédentes, donne

p z= constante -f- J^ — r-^ ihgr. (i — fi*).

A la surface, r est à très-peu près égal à a; en faisant donc, pour simplifier, a=i, on aura

p = constante -4- ("^J -g *{i — ft*).

Soit P la pesanteur à l'équateur du sphéroïde, et a(p le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l'équateur, on aura

d'où il suit que de l'équateur aux pôles, la pesanteur varie proportionnellement au carré du sinus de la latitude. Dans le cas de la nature où n= — 2 , on a

ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé précédemment. Mais il est remarquable que si 7i = 3, on à p = P; c'est-à-dire que si l'attraction est proportionnelle au cube de la distance, la pesanteur à la surface des sphéroïdes homogènes est partout la même, quel que soit leur mouvement de rotation.

37. Nous n'avons eu égard, dans la recherche de la figure des coi*ps célestes, qu'aux quantités de l'ordre a; mais il est facile, par l'analyse précédente , d'étendre les approximations aux quantités de l'ordre a' et des ordres supérieurs. Considérons, pour cela, la figure d'une masse fluide homogène en équilibre, recouvrant un sphéroïde peu difiérent d'une sphère, et doué d'un mouvement de rotation; ce qui est le cas de la terre et des planètes. La condition de l'équilibre à la surface donne, par le n*" 13, l'équation

constante = V — - . r\ ((x* — J)