CHAPITRE V

GOMPARAISOH DE LA THÉORIE PRÉcéDENTE i^VEG LES OBSERVATIONS.

38. Pour comparer aux observations la théorie que nous venons d'exposer, il faut connaître la courbe des méridiens terrestres et celles que l'on trace par une suite d'opérations géodésiques. Si, par l'axe de rotation de la terre, et par le zénith d'un lieu de sa surface, on imagine un plan prolongé jusqu'au ciel, ce plan y tracera la circonférence d'un grand cercle qui sera le méridien de ce lieu : tous les points de la surface de la terre qui auront leur zénith sur cette circonférence seront sous le même méridien céleste, et ils formeront sur cette surface une courbe, qui sera le méridien terrestre correspondant.

Pour déterminer cette courbe, représentons par a=o l'équation de la surface de la terre , u étant une fonction des trois coordonnées orthogonales x^y, z. Soient x,yy z les trois coordonnées de la verticale qui passe par le lieu de la surface de la terre déterminé par les coordonnées Xy j, z : on aura, par îa théorie des surfaces courbes, les deux équations suivantes,

En ajoutant la première, multipliée par l'indéterminée X, à la seconde, on en tirera

dx

Cette équation est celle d'un plan quelconque jparallèle à la verticale dont nous venons de parler : cette verticale prolongée à Tinfini, se réunissant au méridien céleste, tandis que son pied n*est éloigné que d'une quantité finie du plan de ce méridien, elle peut être censée parallèle à ce plan ; l'équation différentielle de ce plan peut donc coïncider avec la précédente en déterminant convenablement l'indéterminée X. Soit

dz=^a . dx-h b . dy

l'équation du plan du méridien céleste; en la comparant à la précédente, on en tirera

Pour avoir les constantes a et 6, on supposera connues les coordonnées du pied de la verticale parallèle à Taxe de rotation de la terre, et celle d'un lieu donné de sa surface. En substituant successivement ces coordonnées dans l'équation précédente , on aura deux équations au moyen desquelles on déterminera a et b. L'équation précédente, combinée avec celle de la surface «=o, donnera la courbe du méridien terrestre qui passe par le lieu donné.

Si la terre était un ellipsoïde quelconque, u serait une fonction rationnelle et entière du second degré en x, y, z; l'équation (a) serait donc alors celle d'un plan dont l'intersection avec la surface de la terre formerait le méridien terrestre : dans le cas général, ce méridien est une courbe à double courbure.

Dans ce cas, la ligne déterminée par les mesures géodésiques n'est pas celle du méridien terrestre. Pour tracer cette ligne, on forme un premier triangle horizontal dont un des angles a pour sommet l'origine de cette courbe, et dont les deux autres angles ont pour sommets deux objets quelconques visibles. On détermine la direction du premier côté de la courbe par rapport aux côtés