PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

du triangle, et sa longueur jusqu'au point où elle rencontre le côté qui joint les deux objets. On forme ensuite un second triangle horizontal avec ces objets et un troisième, plus éloigné queux, de Torigine de la courbe. Ce second triangle n'est pas dans le plan da premier; il na de commun avec lui que le côté formé par les deux premiers objets; ainsi le prolongement du premier côté de la courbe s'élève au-dessus du plan de ce second triangle ; mais on le plie sur ce plan de manière qu'il forme toujours les mêmes angles, avec le côté commun aux deux triangles, et il est aisé de voir que pour cela il doit être plié suivant une verticale à ce plan. Telle est donc la propriété caractéristique de la courbe tracée par les opérations géodésiques. Son premier côté, dont la direction peut être supposée quelconque, est tangent à la surface de la terre; son second côté est le prolongement de cette tangente, plié suivant une verticale; son troisième côté est le prolongement du second côté, plié suivant une verticale, et ainsi de suite.

Si, par le point de réunion de deux de ces côtés, on mène dans le plan tangent à la surface du sphéroïde une ligne perpendiculaire à l'un des côtés, il est visible qu elle sera perpendiculaire à l'autre côté; d'où il suit que la somme de ces côtés est la ligne la plus courte que l'on puisse mener, sur cette surface, entre leurs points extrêmes. Ainsi les lignes tracées par les mesures géodésiques ont la propriété d'être- les plus courtes que l'on puisse mener sur la surface du sphéroïde, entre deux de leurs points quelconques; et, par ce que Ton a vu dans le n° 9 du premier livre, elles seraient décrites par un mobile mû uniformément dans cette surface.

Soient x, j, z les coordonnées rectangles d'un point quelconque de la courbe; x-\-dx, y-^dy, z-^dz, seront les coordonnées d'un point infiniment voisin. Nommons d$ l'élément de la courbe, et supposons cet élément prolongé d'une quantité égale à ds; x-{-2 dxyy-^-i dy, zH-q dz, seront les coordonnées de l'ex-

tréniité de ce prolongement. En le pliant suivant une verticale , les coordonnées de cette extrémité deviendront x-^idx-^ddxy y'\-idy-^ ddy, z-^-idz-^-ddz; ainsi — ddx, — ddy, — ddz^ seront les coordonnées de la verticale^ prises en partant de son pied; on aura donc, par la nature de la verticale, et en supposant que tt=r:o soit l'équation de la surface de la terre,

du dx

^ddy — \^.ddx,

équations qui sont différentes de celles du méridien terrestre. Dans ces équations, ds doit être supposé constant; car il est clair que le prolongement de e/5 rencontre le pied de la verticale suivant laquelle on le plie, à un infiniment petit près du quatrième ordre.

Voyons quelles lumières peuvent donner, sur la figure de la terre, les mesures géodésiques faites, soit dans le sens des méridiens, soit dans le sens perpendiculaire aux méridiens. On peut toujours concevoir un ellipsoïde tangent à chaque point de la surface terrestre, et sur lequel les mesures géodésiques, les longitudes et les latitudes, à partir du point de contingence, dans une petite étendue, seraient les mêmes qu'à cette surface. Si la surface entière était celle d'un ellipsoïde, l'ellipsoïde tangent serait partout le même; mais si, comme on a lieu de le croire, la figure des méridiens n'est pas elliptique, alors l'ellipsoïde tangent varie d'un pays à l'autre, et ne peut être déterminé que par des mesures géodésiques faites dans des sens différents. Il serait trèsintéressant de connaître ainsi les ellipsoïdes osculateurs d'un grand nombre de lieux de la terre.

Soit II = X* -t- j* -f- ^* — 1 — 2 au' l'équation de la surface du sphéroïde que nous supposerons différer très-peu d'une sphère