PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

dont le rayon est runîté, en sorte que a est un très-petit coefficient dont nous négligerons le carré, u peut toujours être considéré comme fonction des deux seules variables x et y; car, en le supposant fonction de x, j, z, on peut en éliminer z, au moyen de Téquation z = \JT^x* — y\ Cela posé, les trois équations trouvées ci-dessus, relativement à la ligne la plus courte sur la surface de la terre, deviennent

xddy — yddx =: a. (-7- j .ddy — *• (;7") -ddx,

xddz — zddx =a.l-j-\ .ddz, \ (0)

yddz — zddy = *• (x") -^dz:

nous désignerons cette ligne sous le nom de ligne géodési(jue.

Nommons r le rayon mené du centre de la terre à sa surface ; Tangle que ce rayon fait avec l'axe de rotation que nous supposerons être celui des z, et (^ Tangle que le plan formé par cet axe et par r fait avec le plan des x et des j; on aura

a;=r.sin. ô.cos.ip, jz=r.sin. 0.sin.(^, z=r. cos.d ;

doù roû tire

r*. sia'.d. d^=zxdy — y dx ,

— r\dB = [xdz — z dx). cos.(p -\- [y dz — zdy).sm.<p,

ds* = dx'-^dy'-i-dz' = dr'-hr\dd'-]-r\d(p\sm\e.

En considérant ensuite u comme fonction de x et de y, et désignant par >|/ la latitude, on peut supposer, dans cette fonction, r=i , et >|/ = 1 oo** — 0, ce qui donne

a:=cos. >J/.cos. ^, j=:cos. \|/.sin. (^;

on aura ainsi

mais on a

d où l*on tire

^ sin. y COS. >(/ ' X* '

En substituant ces valeurs ded-^ et de d(p, dans Féquation diflFérentielle précédente en u, et comparant séparément les coefficients de dx et de dy, on aura

(du'\ cos.(p (du\ sin.^ (^^'\ dx) sin.>J/ ' \d^J cos.>J/ ' \d<p) '

(du\ sin.(p /^"'\ cos.^ (^^\ .

dy) sin.if ' \rf>f'/ ces. 4/ ' \rf<P/ '

ce qui donne

(Pi,ddY-(^^\ddx= - . Y^^ , Axddy-yddx\ \dx) ^ \^y J sm.>(/.cos.y ^ J ^ '

or, en négligeant les quantités de Tordre a, on a xddy—yddx=( de plus, les deux équations

o^efe/z — zddx = o ^ yddz — z ddy = o ,

donnent

^ddz= ^''i^d^+yddy)

et l'équation a: '-I-J* -4- 2;'=i donne

xddx'-\-yddy-\-zddz'+'ds*=o;