PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

en substituant, au Heu de zddz, sa valeur précédente, on aura

xddx-{-yddy= — (^*-l-j*).rf5' = — ^5*. cos*.>|/; partant,

La première des équations (0) donnera ainsi, en l'intégrant,

r^d(p.sm\d = cds'-h'aLds.fds . i-rz) , [p)

c étant une constante arbitraire.

La seconde des équations (0) donne

d. [xdz — zdx) = (t. [-1-] 'ddz;

mais il est facile de voir, par ce qui précède, que Ton a

ddz=: — rf5'.sin.>f/; on a donc

d. [xdz — zdx) = — ads\ (-7-|.sin.>f/; on a pareillement ^

d. [ydz — zdy) := — dds^. (-T-).sin.\|/; on aura donc

r\dO = c. ds. sin. (p -h c. ds. cos. ^

— a.ds. COS. ^. f dsM jt) '(^os.(p --{-Ij-j .sin.^.tang.\|/

— a.ds.sin.^.fdsM-r^] .sin.(^ — (-t-J .cos. (p.lang.>f/|, [q)

Considérons d'abord le cas dans lequel le premier côté de la ligne géodésique est parallèle au plan correspondant du méridien céleste. Dans ce cas, d(p est de l'ordre a, ainsi que dr; on a donc,

en négligeant les quantités de l'ordre a% ds = — rdd, lare s étant suppose croître de Féquateur aux pôles. -^ exprimant la latitude,

il est facile de voir que l'on a 0=100'* — >f/. — l^j , ce qui donne

on a donc

d^^ay.iH-au -4- a. (^rr) •

Ainsi, en nommant e la différence en latitude des deux points extrêmes de l'arc 5, on aura

u' étant ici la valeur de u à l'origine de s.

Lorsque la terre est un solide de révolution, la ligne géodésique est toujours dans le plian d'un même méridien; elle s'en écarte si les parallèles ne sont pas des cercles; l'observation de cet écart peut donc nous éclairer sur ce point important de la théorie de la terre. Reprenons l'équation [p) , et observons que dans le cas présent d(p et la constante c de cette équation sont de l'ordre a, et que l'on peut y supposer r=i, ds = d'^ et 0^=100** — >|/; on aura ainsi

d(p. cos'.>f/=:crf\|/ -ha.rf\^./c/>|/. l-î^)-

Maintenant, si l'on nomme F l'angle que fait le plan du méridien céleste avec celui des x et des z, d'où l'on compte l'origine de l'angle (p; on aura dxAding.V=dy; x, y\ z\ étant les coordonnées de ce méridien dont on a vu, dans le numéro précédent, que l'équation différentielle est

dz ^=^adx -\-hdy .