COS

V^V=^}i-^a.u+a.(^].ieins.yP — l^-i.s'.tang'.^I/ 1.

' COS.>p^ ( ' \d^ ) ^ ^' COS».>p^ * O T,J

Il nous reste à déterminer l'angle azimutal à fextrémité de l'arc 5. Pour cela, nommons x etj les coordonnées a; et j rapportées au méridien de la dernière extrémité de l'arc s; il est facile

de voir que le cosinus de l'angle azimutal est égal à ^ — -i — .

Si l'on rapporte les coordonnées a; et j au plan du méridien correspondant à la première extrémité de l'arc, son premier côté

étant supposé perpendiculaire au plan de ce méridien , on aura

dx dz dy

d^—^' ds—^' ds—^'

partant, en ne conservant que la première puissance de s,

dx ddx^ dz ddz^

d7~^'dJ^' d7~^' ds* '

or on a

x'=x. COS. {V — F) H-y . sin. [V—V^) ;

ainsi V — K étant, par ce qui précède, de Tordre a, on aura

dx' ddx ,T/ T/v dv

Maintenant on a

x=r. sin.0. cos.^, z==:r. cos.0;

on aura donc, en négligeant les quantités de Tordre a*, et observant que ^^ , -r-j-' et ^ sont des quantités de Tordre a,

ddx ddu' . ^ ddO ^ • ri d0^

ds* ds* ' ' ds^ ' ' ' ds^

On a ensuite

tang.-^,,

tddu; \

ddu; (ddui\ d(pf {du;\ ddB^ ^\d(p' ) /du;\

^' ds^ ^^\d(p*J'ds* ^'\dîr)''d?''^ cos«.>P^ ^\"^/

de plus, (/5 = r .sin.ô^. J^^; on aura donc, en substituant pour r , , ^ et -j^j leurs valeurs précédentes,

/ M sin*.>p /du'\ . . I • •

{ddu; \

ddx^ ds'

On a, comme on vient de le voir, en négligeant les puissances

supérieures de s,

/ddu;\

' cos

—p. 1 — au -f-a.|-j-r-). tang.^I/, \ , ,

et -r-' = 1 ; on a donc as

dx d

X , .V sin\t(/ là\i'\ ^,11 l^^K\ ^^^^'l'u

7 =--^-(' -«'0-^+«^-(^j-t«ng'-f •«"•^-«*-(-5^) •^^;

on trouvera semblablement

:, ,. ( i__aM, ). sin.>|/ --a5.(^-^j.tang\>|/,. cos.xf.,-+-a5.(^-^j. -^^^

le cosinus de l'angle azimutal à Textréniité de Tare 5 sera ainsi

..tang.f .ji-au -f-a.^^j.tang.f ^^^

Ce cosinus étant ibit petit, il peut être pris pour le complément de Tangle azimutal, qui par conséquent est égal à

/ dda; \

lOO'*-^

ioo^>— 5.tang.xf.,.ji — aKVa.(^^j.tang.>|/, ^^%;^j-

Il faut, pour plus d'exactitude, ajouter à cet angle la partie dépendante de s\ et indépendante de a, que Ton obtient dans l'hypothèse de la terre sphérique : cette partie est égale à y.5\(Y-f- tang\\f/ ).tang."v|/^; ainsi Fangle azimutal, à l'extrémité de l'arc 5, est égal à

.tang.f.ji-ati>a.(-^).tang.x|/- }^^^^' -|^'.(| + tang'.f J(