PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

au carré de e dans Texpression de Fangle "cs, surtout si, comme on l'a observé en France, l'angle azimutai ne varie pas proportionnellement à l'arc mesuré : il faudrait même alors ajouter à l'expression précédente du rayon de l'ellipsoïde un terme de la forme a/i.sin."v|/.cos."v|/.sin.(^+ê'}, pour avoir l'expression la plus générale de ce rayon.

39. La figure elliptique est la plus simple après celle de la sphère : on a vu précédemment qu'elle doit être celle de la terre et des planètes, en les supposant originairement fluides, si d'ailleurs elles ont conservé, en se durcissant, leur figure primitive; il était donc naturel de comparer à cette figure les degrés mesurés des méridiens; mais cette comparaison a donné pour la figure des méridiens des ellipses dîfi^érentes, et qui s'éloignent trop des observations pour pouvoir être admises. Cependant, avant de renoncer entièrement à la figure elliptique , il faut déterminer celle dans laquelle le plus grand écart des degrés mesurés est plus petit que dans toute autre figure elliptique, et voir si cet écart est dans les limites des erreurs des observations. On y parviendra par la méthode suivante.

Soient a^'\ a^*\ a^'^ etc. les degrés mesurés des méridiens; soient P^^K P^*\ P^'^ 6tc. les carrés des sinus des latitudes correspondantes : supposons que, dans l'ellipse cherchée, le degré du méridien soit exprimé par la formule z-^py; en nommant x^'\ x^*\ x^*\ etc. les erreurs des observations , on aura les équations suivantes , dans lesquelles nous supposerons que p^'\ p^*\ p^*\ etc. forment une progression croissante.

fKy-

-fly^

n étant le nombre des degrés mesurés.

On éliminera de ces équations les deux inconnues z et y, et l'on aura n — 2 équations de condition, entre les n erreurs a;^*\ rc^*^ a;^'*^ Il faut maintenant déterminer le système de ces erreurs, dans lequel la plus grande est, abstraction faite du signe, moindre que dans tout autre système.

Supposons d'abord que Ton n'ait, entre ces erreurs, qu'une seule équation de condition , que nous pouvons représenter par celle-ci ,

a = mx^"^ H-no:^*^ -l-pa?^*^ -f- etc.

a étant positif. On aura le système des valeurs de j;^*\ a?^*^ etc. qui donne, abstraction faite du signe, la plus petite valeur à la plus grande, en les supposant, au signe près, toutes égales entre elles et au quotient de a, divisé par la somme des coefficients m, n, p, etc. pris positivement. Quant au signe que chaque quantité doit avoir, il doit être le même que celui du coefficient de cette quantité, dans l'équation proposée.

Si l'on a deux équations de condition entre ces erreurs , le système qui donnera la plus petite valeur possible à la plus grande sera tel , qu'abstraction faite du signe , toutes ces erreurs seront égales entre elles, à l'exception d'une seule, qui sera plus petite que les autres, ou, du moins, qui ne les surpassera pas. En supposant donc que x^'^ soit celte erreur, on la déterminera en fonction de x^''\ ic^'\ etc. au moyen de l'une des équations de condition proposées; en substituant ensuite cette valeur de x^'^ dans l'autre équation de condition, on en formera une entre x^''\ x^^\ etc. représentons-la par la suivante,

a = mx^*^ -+- nx^'^ -h etc.

a étant positif; on aura, comme ci-dessus, les valeurs de x^^K x^'\ etc. en divisant a par la somme des coefficients m, n, etc. pris positivement, et en donnant successivement au quotient les