PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIEME

signes de m, n, etc. Ces valeurs substituées dans l'expression de a^*i en x^*\ x^*\ etc. donneront la valeur de x^'^ ; et si cette valeur, abstraction faite du signe, n'est pas plus grande que celle de x^*\ ce système de valeurs sera celui qu'il faut adopter; mais si elle est plus grande, alors la supposition que x^'^ est la plus petite erreur n'est pas légitime, et il faudra faire successivement la même supposition sur x^*\ a;^*\ etc. jusqu'à ce que l'on parvienne à une erreur qui y satisfasse.

Si Ton a trois équations de condition entre ces erreurs, le système qui donnera la plus petite valeur possible à la plus grande sera tel, qu'abstraction faite du signe, toutes ces erreurs seront égales entre elles, à l'exception de deux , qui seront moindres que les autres. En supposant donc que x^'^ et x^*^ soient ces deux erreurs, on les éliminera de la troisième des équations de condition, au moyen des deux autres équations, et l'on aura une équation de condition entre les erreurs x^'^ et x^'\ etc. représentons-la par la suivante ,

a = mx^'^ -4- nx^'^ -+- etc.

a étant positif; on aura les valeurs de x^^\ x^^\ etc. en divisant a parla somme des coelFicients , m, n, etc. pris positivement, et en donnant successivement au quotient les signes de m, n, etc. Ces valeurs substituées dans les expressions de x^'^ et de x^*\ en a?^*^ x^^\ etc. donneront les valeurs de x^'^ et de x^''^ ; et si ces dernières valeurs, abstraction faite du signe, ne surpassent pas x^^\ on aura le système d'erreurs qu'il faut adopter ; mais si l'une de ces valeurs surpasse a;^'\ la supposition que x^'^ et pc^*^ sont les plus petites erreurs n'est pas légitime , et il faudra faire la même supposition sur une autre combinaison des erreurs x^'\ x^*\ x^'\ etc. prises deux à deux , jusqu'à ce que l'on parvienne à une combinaison dans laquelle cette supposition soit légitime. Il est facile d'étendre cette méthode au cas où l'on aurait quatre ou un plus grand

nombre d'équations de condition, entre les erreurs x^'\ x^*\ œ^\ etc. Ces erreurs étant ainsi connues, il sera facile d'en conclure les valeurs de z et de y.

La méthode que nous venons d'exposer s'applique à toutes les questions du même genre; ainsi, ayant un nombre n d'observations d'une comète, on peut, à son moyen, déterminer l'orbite parabolique dans laquelle la plus grande erreur est, abstraction faite du signe, moindre que dans toute autre orbite parabolique, et reconnaître par là si l'hypothèse parabolique peut représenter ces observations. Mais quand le nombre des observations est considérable, cette méthode conduit à de longs calculs, et l'on peut, dans le problème qui nous occupe, arriver facilement au système cherché des erreurs, par la méthode suivante.

Concevons quea;^'^ soit, abstraction faite du signe, la plus grande des erreurs x^'\ x^*\ etc. nous observerons, d'abord, qu'il doit exister une autre erreur x^''^ égale et de signe contraire à x^"^; autrement, on pourrait, en faisant varier z convenablement dans l'équation

a^*^ — z — j)^>.y=zx^\

diminuer Terreur x^'\ en lui conservant la propriété d'être l'erreur extrême , ce qui est contre l'hypodièse. Nous observerons ensuite que x^'^ et rr^*'^ étant les deux erreurs extrêmes, l'une positive et l'autre négative, et qui doivent être égales, comme on vient de le voir, il doit exister une troisième erreur x^*"^ égale, abstraction faite du signe, à x^'\ En effet, si l'on retranche l'équation correspondante à x^^, de l'équation correspondante à a:-''^,

on aura

a^^) — a^^ — j f) —f) j ^y=oc^i')x^\

Le second membre de cette équation est, abstraction faite du signe, la somme des erreurs extrêmes, et il est clair qu'en faisant varier convenablement y y on peut la diminuer, en lui conservant la pro-