PREMIÈRE partie; LIVRE TROISIÈME

priété d*être la plus grande des sommes que Ton peut obtenir par Taddition ou par la soustraction des erreurs x^'\ x^*\ etc. prises deux à deux, pourvu qu'il ny ait point une troisième erreur x^'""^ égale, abstraction faite du signe, à x^'^ : or la somme des erreurs extrêmes étant diminuée, et ces erreurs étant rendues égales, au moyen de la valeur de z, chacune de ces erreurs serait diminuée, ce qui est contre l'hypothèse. Il existe donc trois erreurs a:^*\ x^''\ x^^^j égales entre elles, abstraction faite du signe, et dont l'une a un signe contraire à celui des deux autres.

Supposons que ce soit x^'"^ : alors le nombre i' tombera entre les deux nombres i et f . Pour le faire voir, imaginons que cela ne soit pas , et que i tombe en deçà ou au delà des nombres i et f . En retranchant l'équation correspondante à i', successivement des deux équations correspondantes à i et i\ on aura

Les seconds membres de ces équations sont égaux et de même signe; ils sont encore, abstraction faite du signe, la somme des erreurs extrêmes : or il est clair qu'en faisant varier convenablement y^ on peut diminuer chacune de ces sommes , puisque le coefficient de j a le même signe dans les deux premiers membres: on peut, d'ailleurs, en faisant varier z convenablement, conserver à x^'^ la même valeur; x^'^ et x^'""^ seraient donc alors, abstraction Éaile du signe, moindres que x^''\ qui deviendrait la plus grande des erreurs, sans avoir d'égale; et, dans ce cas, on peut, comme on vient de le voir, diminuer l'erreur extrême; ce qui est contre rhypothèse. Ainsi le nombre /' doit tomber entre les nombres i

etr.

Déterminons maintenant lesquelles des erreurs x^^\ x^*^ x^^\ etc. sont les erreurs extrêmes. Pour cela , on retranchera la première

des équations [A) y successivement des suivantes, et Ton aura cette suite d'équations,

û^*)a^o jp(*)p(oj ,^^^(4)^(i)^ etc.

Supposons y infini : les premiers membres de ces équations seront négatifs, et alors la valeur de x^'^ sera plus grande que x^*', a?^*\ etc. en diminuant continuellement y, on arrivera enfin à^une valeur qui rendra positif l'un de ces premiers membres, qui, avant d'arriver à cet état, deviendra nul. Pour connaître celui de ces membres qui, le premier, devient égal à zéro, on formera les quantités

pfp

Nommons ê^'^ la plus grande de ces quantités, et supposons qu elle soit ^^^ ^^^ : s'il y a plusieurs valeurs égales à ê^*\ nous considé-

rerons celle qui correspond au nombre r le plus grand. En substituant ê^*^ pour j, dans la (r — i )*^'"*' des équations (J5), x^""^ sera égal à x^'^ ; et en diminuant j, il l'emportera sur x^'\ le premier membre de cette équation devenant alors positif. Par les diminutions successives de y, ce membre croîtra plus rapidement que les premiers membres des équations qui la précèdent; ainsi, puisqu'il devient nul, lorsque les précédents sont encore négatifs, il est visible que, dans les diminutions successives de j, il sera toujours plus grand qu'eux, ce qui prouve que x^'^ sera constamment

plus grand que x^'\ x^*^ x^^^'\ lorsque j sera moindre que ê^*^

Les premiers membres des équations [B) qui suivent la (r— i)'*™^, seront d'abord négatifs, et, tant que cela aura lieu, x^"*''\ x^'"^*\ etc. seront moindres que x^'\ et par conséquent moindres que x^^\

qui devient la plus grande de toutes les erreurs x^'\ x^'^ x^''^

lorsque j commence à devenir moindre que ê^'^ Mais, en continuant de diminuer j, on parvient à une valeur de cette variable, telle que quelques-unes des erreurs x^''*''\ x^'''^^\ etc. commencent à remporter sur x^''\

Pour déterminer cette valeur de j, on retranchera la r^'"*^ des équations (il), successivement des suivantes, et l'on aura

af^*>) a^r) j p (r^i) p(r) j ^^,^(r^,) ^(r)^

«(-•*-«) aW jp(^-*-»)p(r) j .y=zx'''^" —X^'\

etc.

On formera ensuite les quantités

n(r-^i) p{r) ' pir-^-t) __ ^(r) '

etc.

Nommons 6^*^ la plus grande de ces quantités, et supposons qu elle

soit ^^ ^^^ : si plusieurs de ces quantités sont égales à ê^*^ nous

supposerons que r est le plus grand des nombres auxquels elles répondent. Cela posé, x^^'^ sera la plus grande des erreurs x^'\

x^*^ a;^"\ tant que y sera compris entre ê^'^ et ê^'^ ; mais lorsqu en

diminuant y^ on sera arrivé à ê^"\ alors x^'''^ commencera à l'emporter sur x^''\ et à devenir la plus grande des erreurs.

Pour déterminer dans quelles limites, on formera les quantités

pW^i)^p(r') ' p{r'-*'t)p{r') »

Soit 6^'^ la plus grande de ces quantités, et supposons qu'elle soit i^^i)^ irf) • si plusieurs de ces quantités sont égales à ê^'\ nous

supposerons que r est le plus grand des nombres auxquels elles répondent, x^^^ sera la plus grande de toutes les erreurs depuis jf=6w jusqu'à y=i^^^K Lorsque y=%^^\ alors x^"^^ commence à

être cette plus grande erreur. En continuant ainsi , on formera les deux suites,

^(i) /rW ^i^ ^(f^ /r<")

oo, g^^ €f«\ 6^^ sw^ — œ. (C)

La première indique les erreurs o;^*^, x^'^\ a?^*^^, etc. qui deviennent successivement les plus grandes : la seconde suite, formée de quantités décroissantes, indique les limites de j entre lesquelles ces erreurs sont les plus grandes; ainsi x^'^^ est la plus grande erreur depuis y ^=100 jusqu'à j= 6^'^; x^""^ est la plus grande erreur depuis j=z:ê^*^ jusqu'à j=ê^*^; rc^'^'^ est la plus grande erreur depuis j= ê^"^ jusqu'à j = gî*J ; ainsi de suite.

Reprenons maintenant les équations (fi), et supposons j négatif et infini. Les premiers membres de ces équations seront positifs; ic^'^ sera donc alors la plus petite des erreurs a;^'\ a;^'^ etc. En augmentant continuellement y^ quelques-uns de ces membres deviendront négatifs , et alors x^""^ cessera d'être la plus petite des erreurs. Si l'on applique ici le raisonnement que nous venons de faire pour le cas des plus grandes erreurs, on verra que si Ion nomme X^"* la plus petite des quantités

pt«)p(i) ' pW— p(0 ' pi') -pi') '

etc.

et si l'on suppose qu'elle soit —^^ — j^ , s étant le plus grand des

nombres auxquels répond X^'\ si plusieurs de ces quantités sont égales à V'^ ; x^'^ sera la plus petite des erreurs depuis y= — 00 jusqu'à y=:V'K Pareillement, si l'on nomme X^"^ la plus petite des quantités

etc.

et que l'on suppose qu elle soit ^^ ^^^ , 5' étant le plus grand des