PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

nombres auxquels répond X^'\ si plusieurs de ces quantités sont ^;ales à X^*^ ; o?^'^ sera la plus petite des erreurs depuis j' = X^*^ jusqu'à j=:X'*^ et ainsi du reste. On formera, de cette manière, les deux suites

/*»(') rri') /r^*') T^"^ T^")-

— oo, x^ x^ x^^ x^'^'^ oo. (D)

La première indique les erreurs a;^*\ a;^'\ x^^\ etc. qui sont successivement les plus petites, à mesure que Ton augmente y : It seconde suite, formée de termes croissants, indique les limites des valeurs de y, entre lesquelles chacune de ces erreurs est la plus petite; ainsi x^'^ est la plus petite des erreurs, depuis j=~-oo juaquà j=X^*^; x^'^ est la plus petite des erreurs, depuis j = X^*^ jusqu'à y=zV*\ et ainsi du reste.

Cela posé, la valeur de y qui appartient à Tellipse cherchée sera Tune des quantités &'\ ê^'\ ê^*\ etc. V'\ V^\ V'\ etc. elle sera dans la première suite si les deux erreurs extrêmes de même signe sont positives. En effet, ces deux erreurs étant alors les plus grandes, elles sont dans la suite, x^'\ x^^\ x^'^\ etc. et puisqu'une même valeur de j les rend égales, elles doivent être consécutives, et la valeur de j, qui leur convient, ne peut être qu'une des quantités ê^*\ ê^'\ etc. parce que deux de ces erreurs ne peuvent être à la fois rendues égales, et les plus grandes, que par l'une de ces quantités. Voici maintenant de quelle manière on déterminera celle des quantités %^'\ %^^\ etc. qui doit être prise pour y.

Concevons, par exemple, que ê^*^ soit cette valeur; il doit alors se trouver, par ce qui précède, entre ^^'^^ et x^'^\ une erreur qui sera le minimum de toutes les erreurs, puisque x^"^^ et x^'^^ seront les maxima de ces erreurs; ainsi, dans la suite x^'\ x^'\ x^*'\ etc. quelqu'un des nomhres s, s\ etc. sera compris entre r et r. Supposons que ce soit s. Pour que x^*^ soit la plus petite des erreurs ,

la valeur de j doit être comprise depuis X^'^ jusqu'à X^'^; donc si

so.

ê^'^ est compris dans ces limites , il sera la valeur cherchée de j, et il sera inutile d'en chercher d'autres. En effet, supposons que Ton retranche celle des équations [A) qui répond à œ^'\ successivement des deux équations qui répondent à x^'''^ et à x^"^; on aura

air') ^(,) j ^(o ^(,) [ ^^^^(o ^w^

Tous les membres de ces équations étant positifs, en supposant j=:ê^'^, il est clair que si Ton augmente j, la quantité x^'^^ — x^*^ augmentera; la somme des erreurs extrêmes, prise positivement, en sera donc augmentée. Si Ton diminue j, la quantité x^'^ — x^'^ en sera augmentée, et, par conséquent aussi, la somme des erreurs extrêmes; ê^'^ est donc la valeur de y qui donne la plus petite de ces sommes; d'où il suit qu'elle est la seule qui satisfasse au problème.

On essayera de cette manière les valeurs de ê^*\ ê^*^, ê^'\ etc. ce qui se fera très-aisément par leur seule inspection ; et si l'on arrive à une valeur qui remplisse les conditions précédentes, on sera sûr d'avoir la valeur cherchée de y.

Si aucune des valeurs de ê ne remplit ces conditions, alors cette valeur de y sera quelqu'un des termes de la suite X^'\ V*\ X^'\ etc. Concevons, par exemple, que ce soit X^*^; les deux erreurs extrêmes x^'^ et x^''^ seront alors négatives, et il y aura, par ce qui précède, une erreur intermédiaire qui sera un maximum, et qui tombera, par conséquent, dans la suite x^'\ x^''^ et x^'^^ etc. Supposons que ce soit x^''\ r étant alors nécessairement compris entre s et s; X^*^ devra donc être compris entre ê^'^ et ê^'^ Si cela est, ce sera une preuve que X^*^ est la valeur cherchée de y. On essayera donc ainsi tous les termes de la suite V*\ X^'\ X^*\ etc. jusqu'à ce que l'on arrive à un terme qui remplisse les conditions précédentes.