PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

les termes, une fois parvenus à être négatifs, continuent de Têtre et diminuent sans cesse. Pour avoir la valeur de y^ qui rend la somme de ces termes, pris tous positivement, un minimum, on ajoutera les quantités h^'\ h^*\ etc. jusqu'à ce que leur somme commence à surpasser la demi-somme de toutes ces quantités ; ainsi , en nommant F cette somme entière, on déterminera r de manière que ion ait

A(0 4- A^«)f/l(3). ..;... ^ft(r) >|7r ftO) ^ ft(«) ^ /i(3) p/,(r-i)<^||r.

On aura alors y = t^, en sorte que Terreur sera nulle, relative*

ment au degré même qui correspond à celle des équations (0) dont le premier membre, égalé à zéro, donne cette valeur de j'. Pour le faire voir, supposons que Ton augmente j, de la quan-

tité êy, de manière que -pr, H-^J soit compris entre -pz:^ et -p^.

Les r — 1 premiers termes de la série (P) seront négatifs, comme

dans le cas de y=:-r^^; mais, en les prenant avec le signe

leur somme diminuera de la quantité

[h^'^^h^*^ i fcc-i)).,yj..

Le r"^^ terme de cette suite, qui est nul lorsque y = p^, deviendra positif et égal à h^Kây; la somme de ce terme et des suivants, qui sont tous positifs , augmentera de la quantité

( A^^-f-A^'""'^ -4- etc.). <î Jamais on a, parla supposition,

la somme entière des termes de la suite (P), pris tous positivement, sera donc augmentée, et comme elle est égale à la somme

des erreurs i^'Kx^'\ i^*Kx^*\ etc. des arcs entiers mesurés, prises toutes avec le signe H-, cette dernière somme sera augmentée par

la supposition de j= t^ -+"^J- H ^st facile de s*assurer, de la

même manière, qu'en augmentant j, en sorte quil soit compris

entre . ^^^^ et , ^^^^ , ou entre ,^^^^ et -pc^» etc. la somme des

erreurs, prises avec le signe -f-, sera plus grande que lorsque

Diminuons présentement y de la quantité Sj, en sorte que

T^;^ — Sj soit compris entre j^^^ et p^r^iij- • la somme des termes

négatifs delà série (P) augmentera, en changeant leur signe, de la quantité

et la somme des termes positifs de la même série diminuera de

la quantité

(fc{r-o ^ f^ir-^rj ^ etc.). S j;

et puisque Ton a

h^'^-}-h^'^ -hh^'^ >h^'"^''' -hh^'^'^ -hetc.

il est clair que la somme entière des erreurs, prises avec le signe+, sera augmentée. On verra, de la même manière, quen dimi-

nuant j, en sorte quil soit entre . ^^^.^ et ,^^^^^ , ou entre -n^

et , ^^^^^ , etc. la somme des erreurs, prises avec le signe -4-, est

plus grande que lorsque j= t^; cette valeur dey est donc celle

qui rend cette somme un minimum.

La valeur de y donne celle de z au moyen de Féquation

L'analyse précédente étant fondée sur la variation des degrés de