TOME I

d'où Ton tire

car

dv= ^"' (3)

r.y/ — c* — 2r*f^dr

Cette équation donnera, au moyen des quadratures, la valeur de V en r, lorsque la force (p sera connue en fonction de r; mais si , cette force étant inconnue, la nature de la courbe qu elle fait décrire est donnée; alors, en différentiant l'expression précédente de 2 f(p dr, on aura pour déterminer ^, Téquation

j ( dr'

Les orbes des planètes sont des ellipses dont le centre du soleil occupe un des foyers; or si dans l'ellipse on nomme tzr l'angle que le grand axe fait avec l'axe des x; si, de plus, on fixe au foyer l'origine des x, et que l'on désigne par a le demi-grand axe, et par e le rapport de Texcentricité au demi-grand axe, on aura

a.li — e*) 1 -l~ e . COS. ( V — -cr) '

équation qui devient celle d'une parabole, lorsque e= i, et a est infini; et qui appartient à l'hyperbole, lorsque e surpasse l'unité, et a est négatif. Cette équation donne

dr* 2 1 I

r^dv* ar.[i — e*) r* a*.(i — e*)'

et, par conséquent,

ainsi les orbites des planètes et des comètes étant des sections coniques, la force (p est réciproque au carré de la distance du centre de ces astres à celui du soleil.

On voit, de plus, que si la force ^ est réciproque au carré de

la distance, ou exprimée par —, h étant un coefficient constant;

Téquation précédente des sections coniques satisfera à l'équation différentielle (4) entre r et v, que donne l'expression de (^, lors-

qu'on y change (p dans—. On a alors h= — -, -p. , ce qui forme

une équation de condition entre les deux arbitraires a et e, de l'équation aux sections coniques : les trois arbitraires a, e et tar, de cette équation , se réduisent donc à deux seules arbitraires distinctes; et comme l'équation différentielle entre r et i; n'est que du second ordre, l'équation finie aux sections coniques en est l'intégrale complète.

Il suit de là que, si la courbe décrite est une section conique, la force est en raison inverse du carré des distances , et réciproquement, que, si la force suit la raison inverse du carré des distances, la courbe décrite est une section conique.

3. L'intensité de la force ^, relativement à chaque planète et

à chaque comète , dépend du coefficient — -. -: ; les lois de

Kepler donnent encore le moyen de le déterminer. En effet, si l'on nomme T le temps de la révolution d'une planète , l'aire que son rayon vecteur décrit pendant ce temps étant la surface même de l'ellipse planétaire, elle sera tu .a\ y/i — e\ ir étant le rapport de la demi-circonférence au rayon ; mais l'aire décrite pendant finstant dt est, par ce qui précède, ^^^t! 1^ loi de la proportionnalité des aires aux temps donnera donc la proportion

Y'CcltiTU a\ yi—e^: :dt: T; d'où l'on tire

2 TT.aVV/ I — e*

Relativement aux planètes, la loi de Kepler suivant laquelle les

carrés des temps de leurs révolutions sont comme les cubes des grands axes de leurs ellipses, donne T*=k\a\ k étant le même pour toutes les planètes ; on a donc

2a.[i — e*) est le paramètre de l'orbite, et dans diverses orbites , les valeurs de c sont comme les aires tracées par les rayons vecteurs en temps égal ; ces aires sont donc comme les racines carrées des paramètres des orbites.

Cette proportion a également lieu relativement aux orbites des comètes, comparées soit entre elles, soit aux orbites des planètes; cest un des points fondamentaux de leur théorie qui satisfait si exactement à tous leurs mouvements observés. Les grands axes de leurs orbites, et les temps de leurs révolutions étant inconnus, on calcule le mouvement de ces astres, dans une orbe parabolique, et en exprimant par D leur distance périhélie, on suppose

c= -— r » c^ ^^î revient à faire e égal à Tunité, et a infini,

dans l'expression précédente de c; on a donc encore, relativement aux comètes, T*=k\a\ en sorte que Ton peut déterminer les grands axes de leurs orbites, lorsque leurs révolutions sont connues. Maintenant, l'expression de c donne

on a donc

Le coefficient --j— étant le même pour toutes les planètes et les

comètes, il en résulte que pour chacun de ces corps la force ^ est réciproque au carré des distances au centre du soleil, et qu'elle