CHAPITRE IL
DES EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEBfENT D^UN SYSTÈME DE CORPS
SOUMIS k LEUR ATTRACTION BiUTUELLE.
7. Soient m, m, m", etc. les masses des différents corps du système, considérés comme autant de points; soient x, y, z, les coordonnées rectangles du corps m; x, y, z, celles du corps m, et ainsi du reste. La distance de m! k m, étant
\/{oo—xY-h (y— 7)'-4- {z—z)\
son action sur m sera, par la loi de la pesanteur universelle,
égale à
Si l'on décompose cette action, parallèlement aux axes des x, des y et des z, la force parallèle à Taxe des x, et dirigée en sens contraire de leur origine, sera
\io^'—^y-h{y—yy-i-{z—zYy
ou
dx
On aura pareillement
i^ \/{x'—xy-^(y''—yY-h{z"—zY
'^^ dx
pour Taction de m sur m, décomposée parallèlement à Taxe des Xy et ainsi du reste. Soit donc,
W-^Y+{y'-yy+W-^)' \/{x-xY+ (7 -y )*+ (2- ^ )'
h etc.
\/[x-xJ+(y''^yy+[z''--^zy
X étant ainsi la somme des produits deux à deux, des masses
m, m', m, etc. divisés par leurs distances respectives; — •(^)
exprimera la somme des actions des corps m', m", etc. sur m, décomposées parallèlement à Taxe des x, en sens contraire de l'origine des coordonnées. En désignant donc par dt l'élément du temps supposé constant, on aura, par les principes de dynamique exposés dans le livre précédent,
ddx (d'kX On aura pareillement
ddy (d-K\ ddz (dy\
Si l'on considère de la même manière l'action des corps m, m, etc. sur m'; celle des corps m, m', etc. sur m, et ainsi du reste; on aura les équations
, ddx' (d-k\ , ddy (d-x\ , ddz' (d-x\
, ddx" (d\\ , ddy" (d\\ „ ddz!' (d>\
etc.
La détermination des mouvements de m, m', m\ elc. dépend de
Tintégration de ces équations différentielles; mais il n a été possible jusqu'ici de les intégrer complètement que dans le seul cas où le système n'est composé que de deux corps. Dans les autres cas on n'a pu obtenir qu'un petit nombre d'intégrales rigoureuses, que nous allons développer.
8. Pour cela, considérons d'abord les équations différentielles en Xy X y X y etc. : en les ajoutant ensemble, et en observant que par la nature de la fonction X on a
[à\\ (à\\ là\\
on aura o=^S.m. -j— . On aura pareillement o=S.m. -777, o = S . m . -j—. Soient Xy Y, Z, les trois coordonnées du centre de gravité du système; on aura, par la propriété de ce centre,
on aura donc
ddX ddY ddZ
dr ' ^^ dr ' ^~ dr '
d'où l'on tire, en intégrant,
X=a^bty Y=a-^b'ty Z=^a!^Vt;
a y h y à y \) y CL y \)' y éXzxiX. dcs constantes arbitraires. On voit par là que le mouvement du centre de gravité du système est rectiligne et uniforme, et qu ainsi il n'est point altéré par l'action réciproque des corps du système; ce qui est conforme à ce que nous avons vu dans le chapitre v du livre premier.
Reprenons les équations différentielles du mouvement de ces
