PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

on aura

= 2. 2. m. i ^ !_____. 2. -gp-

3 . S . m (2jr ^ m . ddy a.'L.mdz ^ m,ddz , « J|/f ^ w^c^r i^

ce qui donne, en intégrant,

constante = 2 . m. iifl^^JÎll) (x.m.x).-H^.;<^r)'H-(. ....)'

— 2M.2.-— ax,

r OU

h=M. 2 .m. ^-^-"g-"-^-') +2 .mm-. [ (<^^-^YMdy-dyYMd^'-dzy

— I 2 M. 2 . -^-f- QX j . (M-f- 2 m); (7)

h étant une constante arbitraire. Nous sommes déjà parvenus à ces diverses intégrales, dans le chapitre v du premier livre, relativement à un système de corps qui réagissent les uns sur les autres d'une manière quelconque; mais, vu leur utilité dans la théorie du système du monde, nous avons cru devoir les démontrer ici de nouveau.

10. Ces intégrales étant les seules que l'on ait obtenues dans l'état actuel de l'analyse, on est forcé de recourir aux méthodes d'approximation , et de profiter des facilités qu'offre pour cet objet la constitution du système du monde. Une des principales tient à ce que le système solaire est partagé en systèmes partiels, formés par les planètes et par leurs satellites : ces systèmes sont tels, que les distances des satellites à leur planète sont considérablement plus petites que la distance de la planète au soleil : il en résulte que l'action du soleil étant à peu près la même sur la planète et sur ses satellites, ceux-ci se meuvent, à peu près, comme s'ils n'obéissaient qu'à l'action de la planète. Il en résulte encore cette propriété remarquable, savoir, que le mouvement du centre de gravité d'une planète et de ses satellites est, à fort peu près , le même que si tous ces corps étaient réunis à ce centre.

Pour le démontrer, supposons que les distances mutuelles des corps m, m', m", etc. soient très-petites par rapport à la distance de leur centre commun de gravité, au corps M. Soit,

x-=X-^x^, y=Y-^y^, z^^Z'+'Z^, x=z X-^-x'^y y= Y -H j/ , z = Z -H z ', etc.

Xy Y, Z, étant les coordonnées du centre de gravité du système des corps m, m, rn, etc. l'origine de ces coordonnées étant, ainsi que celles des coordonnées x,y, z, x, y, z, etc. au centre de M. Il est clair que rc^, j^, z , x', etc. seront les coordonnées de m, m, etc. relativement à leur centre commun de gravité ; nous les supposerons très-petites du premier ordre par rapport à X, Y, Z. Cela posé , on aura , comme on l'a vu dans le premier livre , la force qui sollicite le centre de gravité du système, parallèlement à une droite quelconque, en prenant la somme des forces qui animent les corps, parallèlement à cette droite, multipliées respectivement par leurs masses, et, en divisant cette somme, parla somme des masses. On a vu de plus, dans le même livre, que l'action mutuelle des corps liés entre eux d'une manière quelconque, n'altère point le mouvement du centre de gravité du système; et, par le n** 8, l'attraction mutuelle des corps n'influe point sur ce mouvement; il suffit donc, dans la recherche des forces qui animent le centre de gravité du système, d'avoir égard à Faction du corps M, étranger à ce système.

L'action de M sur m, décomposée parallèlement à l'axe des x,

et en sens contraire de leur origine, est ^; la force entière

qui sollicite parallèlement à cette droite le centre de gravité du système des corps m, m, etc. est donc