PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME
il faut donc considérer F comme fonction de trois coordonnées rectangles, dont Tune soit parallèle à cette droite, et différentier cette fonction relativement à cette coordonnée; le coefficient de cette différentielle, pris avec un signe contraire, sera l'expression de l'attraction du sphéroïde, parallèlement à la droite donnée, et dirigée vers l'origine de la coordonnée qui lui est parallèle. Si l'on représente par S la fonction
on aura
V=fQ . p . dx. ày . dz.
L'intégration n'étant relative qu'aux variables x\ y\ z , il est clair que Ton aura
mais on a
ldU\ /ddç\ /dd€\ ''=[d^)-^[dr)^[dï^)'^
on aura donc pareillement
{ddV\ /ddV\ (ddV\ ,,.
cette équation remarquable nous sera de la plus grande utilité dans la théorie de la figure des corps célestes. On peut lui donner d'autres formes plus commodes dans diverses circonstances; concevons, par exemple, que de l'origine des coordonnées on mène au point attiré un rayon que nous nommerons r; soit d l'angle que ce rayon fait avec l'axe des x, ei^ l'angle que le plan formé par j- et par cet axe fait avec le plan des x et des j; on aura
x=^r. cos.6, j=:r. sin. 9. COS. «, z=r.s\n.d. sin. «;
d'où l'on tire
on pourra ainsi avoir les difiPérences partielles de r, ô et «, relativement aux variables ^, j, 2;; et Ton en conclura les valeurs de
(-T-7J, (-7-7-)» ("Tt)» ^^ diflérences partielles de F, relatives
aux variables r, 9 et «. Comme nous ferons souvent usage de ces transformations des différences partielles , il est utile d'en rappeler ici le principe. En considérant V comme fonction des variables Xjy, Zy et ensuite des variables r, 9 et «, on a
\dx)~ \dr) ' \dx) "^ [de) ' \dx) "^ \diff) • \dx)'
Pour avoir les différences partielles (-7-) » (7") » (t") » ^^ '^^ ^^"*
faire varier que œ, dans les expressions précédentes de r, cos. 0, et tang. «; en différentiant donc ces expressions, on aura
/dr\ ^ (de\ sin.e (dv\
ce qui donne
On aura donc ainsi la différence partielle (-^)» en différences partielles de la fonction V, prises par rapport aux variables r, B et «. En différentiant de nouveau cette valeur de (-t— ) » on aura la différence partielle ( , ; | , en différences partielles de V, prises par rapport aux variables r, B et ist. On aura par le même procédé les valeurs de ( , , j, et ( , , j.
