PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME
On transformera de cette manière Téqualion [A) , dans la sui-
vante :
( ddV \ (ddV\ cos.Ô (dV\ \(/«'j (dd.rV\ /Dv
et si Ton fait cos.d = jx, cette dernière équation deviendra
■'■I (—'''').■ (4f)| | ^ (^) ^ ^(dd.rvy .,,
dpL \ 1 — pLii \ dr* j' ^ '
12. Supposons maintenant que le sphéroïde soit une couche sphériquc'dont Forigine des coordonnées soit au centre; il est clair que V ne dépendra que de r, et qu il ne renfermera ni ft ni ist; Téquation (C) donnera donc
/dd.rV\
doù Ton tire, en intégrant,
Aei B étant deux constantes arbitraires. On a donc
(dV\B \dr )~ r''
— (-3—) exprime, par ce qui précède, l'action de la couche
sphérique sur le point m, décomposée suivant le rayon r, et dirigée vers le centre de la couche; or il est clair que l'action
exprime donc Faction totale de la couche sphérique sur le point m.
Supposons d'abord ce point placé au dedans de la couche. S'il
«tait au centre même, l'action de la couche serait nulle; on a donc
-y— j = o, OU — =o, lorsque r=:o, ce qui donne jB = o , \^^ J ^ '' ( dV\
et par conséquent — 1-^— |i=:o, quel que soit r;.d'où il suit
qu'un point placé dans Tintérieur de la couche n'en éprouve aucune action, ou, ce qui revient au même, il est également attiré de toutes parts.
Si le point m est situé au dehors de la couche sphérique, il est visible qu'en le supposant infiniment éloigné de son centre, l'action de la couche sur ce point sera la -même que si toute la masse de la couche était réunie à ce centre; en nommant donc
M la masse de cette couche, — ("7") ^^ ~ deviendra, dans ce cas, égal à —, ce qui donne B = M; on a donc généralement, par rapport aux points extérieurs ,
dV
(dV\M \dr)~r^'
c'est-à-dire que la couche sphérique les attire comme si toute sa masse était réunie à son centre.
Une sphère étant une couche sphérique dont le rayon de la surface intérieure est nul, on voit que son attraction sur un point placé à sa surface, ou au delà, est la même que si sa masse était réunie à son centre.
Ce résultat a encore lieu pour les globes formés de couches concentriques d'une densité variable du centre à la circonférence, suivant une loi quelconque, puisqu'il est vrai pour chacune de ces couches: ainsi, le soleil, les planètes et les satellites pouvant être considérés, à très-peu près, comme des globes de cette nature, ils attirent, à fort peu près, les corps extérieurs, comme si l'on supposait leurs masses réunies à leurs centres de gravité; ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé par les observations, dans le n** 5. A la vérité, la figure des corps célestes s'écarte un peu de la sphère; mais la différence est très-petite, et l'erreur
