PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

et par conséquent

a ir . a'rfu./rfÔ . sin. 0. 9, (/) = 2 ir . ^ .//f(/. 9, (/).

L'intégrale relative à 6 doit être prise depuis 0= o jusqu'à 0= ir, et à ces deux limites on af=r — u, etf=r-i-n; ainsi Fin tégrale relative à /" doit être prise ^i^uïs f=r — a jusqu'ày= r-f- u. Soit donc ffdf. <p, (/) = -«K/) î on aura

Le coefficient de rfr, dans la différentielle du second membre de cette équation, prise par rapport à r, donnera l'attraction de la couche sphérique sur le point attiré; et il est facile d'en conclure

que dans la nature, où (^ [f) = —^ cette attraction est égale à

^' ^ — ; c'est-à-dire, qu'elle est la même que si toute la masse

de la couche sphérique était réunie à son centre ; ce qui fournit une nouvelle démonstration de la propriété que nous avons établie précédemment sur l'attraction des sphères.

Déterminons maintenant 9 (/)» d'après la condition que l'attraction de la couche est la même que si sa masse était réunie à son centre. Cette masse est égale à ^tt .u^du, et si elle était réunie à son centre, son action sur le point attiré serait 4 'tt. u* (/a. Ç (r) ; on aura donc

iit.udu.^ -j \ = ^Tr.u*du.(p [r); (D)

en intégrant par rapport à r, on aura

\|/ (rn-tt) — y\/ (r — u) = 2 ru.fdr. (^ {r)-i-rU,

U étant une fonction de u et de constantes, ajoutée à l'intégrale

2u.fdr. (p (r). Si l'on représente >|/ (r-Hu) — ^{r — u), par R, on aura, en différentiant l'équation précédente,

ddR\ , ^, X , rf.<P(r)

{ààR\ lààV\

mais on a, par la nature de la fonction R,

/ ddn \ ( ddR \ \dr' )~\du* /* partant

( ^t \ d.<^{r)\ (ddU\

2u.ja9(r)-hr.-j;i-^j=r. ^-^^jî

OU

2(p(r) rf.(p(r) 1 / ddU \ r dr 2u\ du* ) '

Ainsi, le premier membre de cette équation étant indépendant de u, et le second membre étant indépendant de r, chacun de ces membres doit être égal à une constante arbitraire que nous désignerons par 3 A ; on a donc

r dr '

d'où Ton tire, en intégrant,

B étant une nouvelle constante arbitraire. Toutes les lois d'attraction dans lesquelles une sphère agit sur un point extérieur placé à la distance r de son centre, comme si toute sa masse était réunie à ce centre, sont donc comprises dans la formule générale