PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME
il est aisé de voir qu'en efifet cette valeur satisfait à Téquation (D), quels que soient A et B.
Si Ton suppose A=^o\ on aura la loi de la nature , et Ton voit que dans le nombre infini des lois qui rendent l'attraction trèspetite à de grandes distances , celle de la nature est la seule dans laquelle les sphères ont la propriété d'agir comme si leurs masses étaient réunies à leurs centres.
Cette loi est encore la seule dans laquelle un corps placé au dedans d'une couche sphérique, partout d'égale épaisseur, est également attiré de toutes parts. Il résulte de l'analyse précédente que l'attraction de la couche sphérique dont l'épaisseur est iu^ sur un point placé dans son intérieur, a pour expression,
2 n.udu. \ j
dr
Pour que cette fonction soit nulle, on doit avoir
\|/ (u-hr) — -vf/ (tt — r) = r.U, U étant une fonction de u, indépendante de r; et il est facile de voir que cela a lieu dans la loi de la nature ou (p [f) = y; • ^^^^
pour faire voir que cela n'a lieu que dans cette loi, nous désignerons par '^'{f) la difiFérence de xf/ (/), divisée par df; nous désignerons encore par '^" {f)y la di£Férence de >|^'(/)» divisée par df, et ainsi de suite; nous aurons ainsi, en différentiant deux fois de suite l'équation précédente, par rapport à r,
^"(tt^r) — xf/''(u — r) = o.
Cette équation ayant lieu, quels que soient u et r, il en résulte que '^"{f) doit être égal à une constante, quel que soit/, et qu'ainsi x^/"' (/) = o ; or on a , par ce qui précède.
d'où l'on tire
on a donc
ce qui donne, en intégrant, (p (J)=—^ et par conséquent la loi
de la nature.
13. Reprenons l'équation (C) du n** 11. Si l'on pouvait intégrer généralement cette équation , on aurait une expression de V, qui renfermerait deux fonctions arbitraires que l'on déterminerait en cherchant l'attraction du sphéroïde sur un point situé dans une position qui facilite cette recherche, et en comparant cette attraction à son expression générale. Mais l'intégration de l'équation (C) n'est possible que dans quelques cas particuliers, tels que celui où le sphéroïde attirant est une sphère, ce qui réduit cette équation aux différences ordinaires ; elle est encore possible dans le cas où ce sphéroïde est un cylindre dont la base est une courbe rentrante, et dont la longueur est infinie : on verra dans le troisième livre que ce cas particulier renferme la théorie des anneaux de Saturne.
Fixons l'origine des r, sur l'axe même du cylindre, que nous supposerons d'une longueur infinie de chaque côté de cette origine. En nommant r la distance du point attiré, à Taxe, on aura
Il est visible que V ne dépend que de r et de 'cr, puisqu'il est le même pour tous les points relativement auxquels ces deux variations sont les mêmes; il ne renferme donc ft, qu'autant que r est fonction de cette variable , ce qui donne
{dV\{dV\ (d r\ rpL (dV \
\dy.)-\dr')\dy.)- sjT^=l^^\dr' ^
( ddV\ ry (ddV \ r (dV\
