PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

récpiation (C) devient ainsi

,, /ddV\ (ddV\ , /dV\

">=' ■[-dF^j-^y-d^j-^'i-dF)'^

d'où Ton tire, en intégrant,

V=(p \r\ cos.'cs-hr.^ — i . sin. "crj -h -vf/ jr . cos. "& — r.\/ — i.sin.^crj;

^ (r) et >|/ (r ) étant des fonctions arbitraires de r, que Ton pourra déterminer, en cherchant l'attraction du cylindre, lorsque tn est nul , et lorsqu'il est égal à un angle droit.

Si la base du cylindre est un cercle, V sera évidemment une fonction de r, indépendante detn; l'équation précédente aux différences partielles deviendra ainsi

,/ddV\^ r (dV\

ce qui donne, en intégrant.

( dV\H \dr')~ r'

H étant une constante. Pour la déterminer, nous supposerons / ' extrêmement grand par rapport au rayon de la base du cylindre, ce qui permet de considérer le cylindre comme une ligne droite infinie. Soit A cette base, et z la distance d'un point quelconque de l'axe du cylindre, au point où cet axe est rencontré par r ; l'action du cylindre considéré comme concentré sur son axe sera, parallèlement à r, égale à

A r\ dz

Tîntégrale étant prise depuis z = — c», jusqu'à z=oo; ce qui réduit cette intégrale à — r-: c'est l'expression de — ("Tt)> lorsque r

est très-considérable. En la comparant à la précédente , on a H =2 A, et Ion voit que, quel que soit r, l'action du cylindre

sur un point extérieur est — r--

Si le point attiré est au dedans d'une couche cylindrique circulaire, d'une épaisseur constante, et d'une longueur infinie, on

a encore — |-^-7-J = -t; et comme l'attraction est nulle lorsque

le point attiré est sur l'axe même de la couche, on a //=o, et, par conséquent, un point placé dans l'intérieur de la couche est également attiré de toutes parts.

14. On peut étendre au mouvement d'un corps les équations [A), [B) et (C) du n** 11, et en tirer une équation de condition très-utile, soit pour vérifier les calculs de la théorie, soit pour vérifier la théorie même de la pesanteur universelle. Les équations di£Férenlielles (i), (2), (3) du n** 9, qui déterminent le mouvement relatif de m autour de M, peuvent être mises sous cette forme :

ddx

(dQ\' ddy^ld^ dd^(dQ\. ,;.

\dx)' dr~\dy)' dr~\dz)' v';

Q étant égal a 2 . ^ ff- H , et li est

facile de voir que l'on a

si les variables x, y, z, x, etc. que Q renferme, sont indépendantes des X, y et z.

Transformons les variables a:, y, z, en d'autres plus commodes pour les usages astronomiques, r étant le rayon mené du centre de Af à celui de m, nous nommerons v l'angle que la projection de