PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

En employant d'autres coordonnées, on formerait de nouveaux systèmes d'équations difiFérenti elles : supposons, par exemple, que Ion change les coordonnées x et y, des équations (i) du n** 14, en d'autres relatives à deux axes mobiles situés sur le plan de ces coordonnées, et dont le premier indique la longitude moyenne du corps m, tandis que le second lui est perpendiculaire. Soient x^ ety^ les coordonnées de m, relativement à ces axes, et désignons par wf-f-e, la longitude moyenne de m, ou Tangle que l'axe mobile des X fait avec l'axe des x ; on aura

a;=:x .COS. (/if-4-e) — J, -sin. (/ifH-e) , y=x^.s\n. (7if-f-e)-f-j^.cos. (/if-+-e) ;

d'où Ton tire, en supposant dt constant,

ddx. COS. [nt+e) + ddy.sin. [nt+e) = ddx^ — n^x^.dV—2 ndy^.dt, ddy .COS. [nt+e) + ddx. sin. [nt + e)=:ddy^-^ny^.dV + 2 ndx^.dt.

En substituant dans Q, au lieu de a: et de j, leurs valeurs précédentes, on aura

Gela posé, les équations diflFérentielles (i) donneront les trois suivantes :

d*x dy

0= -rrr — n* X — 211. -f^ dt* ' dt

(rfx)'

d*y , dx [ dQ\ /.j^x

°~ dp \dz)'

Après avoir donné les équations diflFérentielles du mouvement d'un système de corps soumis à leur attraction mutuelle, et après en avoir déterminé les seules intégrales exactes que l'on ait pu obtenir jusqu'à présent, il nous reste à intégrer ces équations par des approximations successives. Dans le système solaire, les corps célestes se meuvent à peu près comme s'ils n'obéissaient qu'à la force principale qui les anime , et les forces perturbatrices sont peu considérables; on peut donc, dans une première approximation, ne considérer que l'action mutuelle de deux corps, savoir, celle d*une planète ou d'une comète et du soleil, dans la théorie des planètes et des comètes; et l'action mutuelle d'un satellite et de sa planète, dans la théorie des satellites. Nous commencerons ainsi par donner une détermination rigoureuse du mouvement de deux corps qui s'attirent : cette première approximation nous conduira à une seconde, dans laquelle nous aurons égard à la première puissance des forces perturbatrices; ensuite, nous considérerons les carrés et les produits de ces forces : en continuant ainsi, nous déterminerons les mouvements célestes avec toute la précision que les observations comportent.