PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

fr*dv est le double de la surface de l'ellipse, et par conséquent

il est égala 2ir .a\^ i -^^; de plus, h* est égal à |xa. (i — e*) ; on aura ainsi la même expression de T que ci-dessus.

Si Ton néglige les masses des planètes, relativement à celle du

soleil , on a \/ft ^= \/^'* ^^ valeur de \/fÂ est alors la même pour

toutes les planètes ; T est donc proportionnel alors à a • , et par conséquent les carrés des temps des révolutions sont comme les cubes des grands axes des orbites. On voit que la même loi a lieu dans le mouvement des satellites autour de leur planète, en négligeant leurs masses relativement à celle de la planète.

17. On peut encore intégrer de cette manière les équations du mouvement de deux corps Met m, qui s'attirent en raison réciproque du carré des distances. Reprenons les équations (i), (2) et (3) du n** 9; elles deviennent, en ne considérant que l'action des deux corps Met m, en faisant M-f-m = |x,

aax

ddy

ddz

Les intégrales de ces équations donneront, en fonctions du temps f, les trois coordonnées a;, j, z, du corps m, rapportées au centre de M: on aura ensuite, par le n"" 9, les coordonnées ?, Il et 7 du corps M y rapportées à un point fixe, au moyen des équations

Enfin, on aura les coordonnées de m, par rapport au même point fixe, en ajoutant x k C, j àlI, et z à y; on aura ainsi le mouvement relatif des corps M et m, et leur mouvement absolu dans

l'espace. Tout se réduit donc à intégrer les équations difiFérentielles (0).

Pour cela, nous observerons que si Ton a entre les n variables x^'\ x^*\ o:^'^ x^''\ et la variable f , dont la dîflFérence est supposée constante, un nombre n d'équations différentielles données par la suivante :

dans laquelle on suppose s successivement égal à i, 2 , 3 , n;

A,By H étant des fonctions des variables x^^\ a;^*\ etc. et de t,

symétriques par rapport aux variables rc^'\ a;^'^ a:^*\ c est-àdire, telles qu elles restent les mêmes, lorsque Ton y cbange une quelconque de ces variables dans une autre, et réciproquement; on peut supposer

a^'^ 6^*^ h^'^; a^*\ b^*\ etc. étant des arbitraires dont le nombre

est i.[n — i). Il est clair que ces valeurs satisfont au système proposé des équations différentielles : de plus, elles réduisent ces équations à i équations différentielles entre les i variables x^'''^'^'\ ^. („-,.+.,) ^(„)^ Leurs intégrales introduiront i* nouvelles arbitraires qui, réunies aux i.[n — i) précédentes, formeront les in arbitraires que doit donner Fintégration des équations différentielles proposées.

Si Ion applique ce théorème aux équations (0), on voit que z=iax'i-by, a etb étant deux arHtraires. Cette équation est cdie d*un plan passant par Torigine des coordonnées; ainsi lorbite de m est tout entière dans un même plan.