PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

Les équations (0) donnent

or, en di£Pérentiant deux fois de suite l'équation rdr—xdx+ydy-^-zdz,

on a

r.fZV-hS dr .ddr=x.d^x-hy .d''y-+'Z.d^z

-\-^ -{dx. ddx -4- dy . ddy -+- dz . ddz ) , et par conséquent,

j / ^ ddr\ , ( d^o; d^y d^ z

^\''dt^)=''\'''dF'-^y'-dr

-hz.

dr

o , i I ddx j ddy , ddz

En substituant dans ie second membre de cette équation , au lieu de d^Xy dy, d*z, leurs valeurs données par les équations (O'), et ensuite, au lieu de ddx, ddy, ddz, leurs valeurs données par les équations (0), on trouvera

^ = d' (^'-^Trj-^f^^^-

Si l'on compare cette équation aux équations ( 0' ) , on aura , en vertu du théorème exposé ci-dessus, en considérant jr^ jt^ jr ^

ni*

-77, coi^me autant de variables particulières x^^\ x^*\ x^'\ x^*^; et r, comme fonction du temps t,

dr^^^X.dx-hy.dy; X, y, étant des constantes; et, en intégrant,

r= hAX-\-yy,

— étant une constante. Cette équation combinée avec celles-ci ,

z = ax-{-by, r^ = x* -h- y* -i- z%

donne une équation du second degré, soit en x et y, soit en xet z, soit en y et z; d'où il suit que les trois projections de la courbe décrite par m autour de M sont des lignes du second ordre , et qu ainsi, cette courbe étant toute dans un même plan, elle est elle-même une ligne du second ordre , ou une section conique. Il est facile de s'assurer par la nature de ce genre de courbes, que le rayon vecteur r étant exprimé par une fonction linéaire des coordonnées x, y, l'origine de ces coordonnées doit être au foyer

de la section. Maintenant l'équation r= hX.a:-f-y .j, donne

en vertu des équations ( ) ,

ddr \ a)

En multipliant cette équation par dr, et en l'intégrant, on aura

dr* (ir*

r\j^^ — 2iir-h-!=^-^h' = o,

a étant une constante arbitraire. De là on tire

rdr

dt

cette équation donnera r en fonction de t; et comme x^yyZ sont donnés, par ce qui précède, en fonction de r, on aura les coordonnées de m en fonctions du temps.

18. On peut parvenir à ces diverses équations par la méthode suivante , qui a l'avantage de donner les arbitraires, en fonctions des coordonnées Xy y, z, et de leurs premières différences , ce qui nous sera très-utile dans la suite.

Supposons que F= constante soit une intégrale du premier