PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

ordre des équations (0), F étant fonction de a;, j, z, -tt, 77, 7^:

nommons x\ y, z ces trois dernières quantités. L'équation

V= constante donnera, par sa difiPérentiation,

(dV\ dx (dV\ dy /dV\ dz /dV\ dx^ ,/dV\ dy /dV\ dz'

^ — \dx)'dt'^\dy)'dt~^\dz)'dt'^ \dx') ' di "^ uy J'dt^" W') ' dt ' mais les équations (0) donnent

dx [ix dy' fiy dz' (iz

dt ~ r'' dt ~ r'' dt

on a donc i'équation identique, aux difTérences partielles, .=x'.Q+/.Q-H/.©- iL.|..(^)+^.(il)+..(^)|. (,)

Il est clair que toute fonction de x,y, z, x, y, z, qui, substituée pour F dans cette équation, la rend identiquement nulle, devient, en régalant à une constante arbitraire, une intégrale du premier ordre des équations (0).

Supposons

//étant fonction de trois variables Xy j, z; U' étant fonction des six variables x, yy z, Xy y, z, mais du premier ordre relativement à X, y y z ; U" étant fonction des mêmes variables, et du second ordre relativement à Xyy,z; et ainsi de suite. Substituons cette valeur dans Téquation (/), et comparons séparément l'aies termes sans Xy y y z ; 2^ ceux qui renferment la première puissance de ces variables; 3** ceux qui renferment leurs carrés et leurs produits, et ainsi de suite; nous aurons

etc.