TOME I

L'intégrale de la première de ces équations est, comme Ton sait parla théorie des équations à différences partielles,

f/' = fonct. [xy — yx, xz — zx\yz — zy, x,y, z\.

La valeur de U devant être linéaire en x\ y\ z\ nous la supposerons de cette forme :

U'=A . \xy — yx\-}-B. [xz — zx) -hC. [yz — ^y)\

A, B, C étant des constantes arbitraires. Arrêtons ensuite la valeur de V au terme U\ en sorte que U"', f/'^ etc. soient nuls ; la troisième des équations (/') deviendra

la valeur précédente de U' satisfait encore à cette équation. La quatrième des équations (/') devient

, /dcn , (du"\ , /di'"\

équation dont l'intégrale est

U''=ionct.\xy — yx, xz — zx\yz — zy, x, y, z\.

Cette fonction doit satisfaire à la seconde des équations [l')t et le premier membre de cette équation multipliée par dt est évidemment égal à dU; le second membre ^doit donc être la différentielle exacte d'une fonction de Xyy, z. Or il est facile de voir que Ton satisfait à la fois à cette condition, à la nature de la fonction l]\ et à la supposition que cette fonction doit être du second ordre en Xy y y z', en faisant

U"={Dy — Ex) . {xy—yx)-+'{Dz'—Fx).{xz'—zx) -i-{Ez'—Fy) . iyz-zy) ^-G. (a^'H-j^- f-z'») ,