PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

D,E, F, G étant des constantes arbitraires; et alors, r étant égal à \/a;*-Hj^'-+-z% on a

U= — f^.\Dx^Ey-^Fz-{-2G\.

On aura donc ainsi les valeurs de Uy U\ JJ"; et l'équation

V 1= constante deviendra

const.= — -. {I)a;-4--£j-t-Fz-f-2G|H-(4-f-Z)y — Ex).[xy—yx) -4 [B^D7!—Fx) . [x£—zx') -^ [C-\-Ez—Fy) . [yz-zy]

Cette équation satisfait à Téquation (/), et par conséquent aux équations différentielles (0), quelles que soient les arbitraires A, B, C, D, Ey F, G. En les supposant toutes nulles, i** à l'exception de il; 2^ à l'exception de JB, 3** à l'exception de C, etc. et res-

tt/K d'Y dz

tituant jj^ JJ, 77^^ ^^^^ ^^ ^'^ 7* ^'^ ^° ^^^^ ^^^ intégrales

xdy — ydx , xdz — zdx „ ydz — zdy

^~ Tt ' ^~ Tt ' ^~ di '

/. (a /dy*+dz*\) ydy.dx zdz.dxj

r, {u /dx*-hdz*\) xd.T.dy zdz.dy I /f>\

''=f+y-\-r-[—d—)\^-dr-^-dt^' |(^)

a 2a dx^+d, -\-dz' ^~a r ^ dr

<^f c\ c", fy J\ f\ et a étant des constantes arbitraires.

Les équations différentielles (0) ne peuvent avoir que six intégrales distinctes du premier ordre, au moyen desquelles, si Ion élimine les différences dxy dy y dz, on aura les trois variables Xy yyZ, en fonctions du temps t; il faut donc qu'au moins

l'uue des sept intégrales précédentes rentre dans les six autres. On voit même à priori, que deux de ces intégrales doivent rentrer dans les cinq autres. En effet, puisque Télément seul du temps entre dans ces intégrales, elles ne peuvent pas donner les variables ar,j, z, en fonctions du temps, et par conséquent elles sont insuffisantes pour déterminer complètement le mouvement de m autour de M. Examinons comment ces intégrales n*équivalent qu à cinq intégrales distinctes.

Si Ton multiplie la quatrième des équations (P) par — " .^ — , et qu'on rajoute à la cinquième multipliée par -r-. , on aura

- ( zdy-ydz \ „ (xdz-zdx \ ( xdy-ydx \ ( ^ (dx'+dy'\ \

""—f-y—di — j-^J \ dt )'^''\ dt ) ' 17 — \df~)\

(xdy — ydx\ (xdx.dz ydy.dz dt ) • {dv •" dt^

« 1 .. . ,. j xdy — ydx xdz — zdx ydz — zdy ,

En substituant au lieu de — ^^-=^ — , y- , - — -j- — -. leurs

dt dt dt

valeurs données par les trois premières des équations (P), on aura

f'c'—fc" ( |x (dx^+dy^W J xdx.dz ydy.dz

^ l dx'+dy' \ \ c ' ^'(r V dr- / j ■ dV ' dV •

Cette équation rentre dans la sixième des intégrales (P), en y fai-

f c — fc S3intf"=^ — , ou o=fc — f<^-+-f'c. Ainsi la sixième des

intégrales [P) résulte des cinq premières, et les six arbitraires c, c, c\ f y J'y j'y sout Hées eutrc elles par l'équation précédente. Si Ton ^prend les carrés des valeurs de/, f'yf\ données par les équations (P), qu'ensuite on les ajoute ensemble, et que pour abréger on fasse/* -[-/''-[-/"*= /*; on aura

,, , ( ,, / dx^+dy^+dz^ \ /rdrV) i dx'+dy*+dz' 2fi)

^ ( \ dr ) \dr) ){ dp 7y