PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

mais si Ton carre les valeurs de c, c, c\ données par les mêmes équations, qu*ensuite on les ajoute, et que l'on fasse c*+c*+c'"=/<\ on aura

, /dx*-hdy*-^dz*\ /rdrV ,,

Téquation précédente devient ainsi ,

dx'-hdy'-hdz' 2|x /x* — /*

dr r h' '

En comparant cette équation à la dernière des équations (P), on aura Téquation de condition,

La dernière des équations [P) rentre conséquemment dans les six premières qui n'équivalent elles-mêmes qu'à cinq intégrales distinctes, les sept arbitraires c, c, c\f, J\ f\ et a étant liées par les deux équations de condition précédentes. De là il résulte que l'on aura l'expression la plus générale de F, qui satisfasse à l'équation (/), en prenant pour cette expression une fonction arbitraire des valeurs de c, c, c\ fy et y*', données par les cinq premières des équations (P).

19. Quoique ces intégrales soient insuffisantes pour déterminer x,y, Zy en fonctions du temps, elles déterminent cependant la nature de la courbe décrite par m, autour de M. En effet, si l'on multiplie la première des équations (P) par z, la seconde par — y y et la troisième par Xy on aura, en les ajoutant,

O = CZ ^7 -t- ^ X y

équation à un plan dont la position dépend des constantes c, c', c. Si l'on multiplie la quatrième des équations (P) par Xy la cin-

qiiième par j, et la sixième par z, on aura

mais on a, par le numéro précédent,

, { dx'-\-dy'-^dz* \ r'dr* .

partant ,

o = (ir — h* ^fx -^fy -\-fz.

Cette équation, combinée avec celles-ci , o = ( " x — c y -^cz , /=*--. a^* -h j*-j-z*, donne l'équation aux sections coniques, l'origine des r étant au foyer. Les planètes et les comètes décrivent donc à très-peu près, autour du soleil, des sections coniques dont cet astre occupe un des foyers, et ces astres s'y meuvent de manière que les aires décrites par les rayons vecteurs croissent comme les temps. En elFet, si l'on nomme dv, l'angle infiniment petit, intercepté par les rayons r et r-'hdr, on aura

rfa; ' -h rfj * -h rfc ' = r * (fo ' H- rfr % l'équation

, /dx^-hdy^-i-dz^X r^dr* .^

'^ ' \ dr ) IT —^^'

deviendra ainsi, i-^dv^^^h^dO; partant

hdf

dv

On voit par là que l'aire élémentaire y r^dv, décrite par le rayon vecteur r, est proportionnelle à l'élément de temps dt; l'aire décrite pendant un temps fini est donc proportionnelle à ce temps. On voit encore que le mouvement angulaire de m autour de M est , à chaque point de l'orbite , réciproque au carré du rayon vecteur; et comme on peut, sans erreur sensible, prendre des