PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

partant

/ d'u \ / d\(z'du \

\da)~\ dt' )•

En suivant ce procédé, il est aisé d'en conclure généralement.

yiû') \ dr~)

Supposons maintenant, qu'en faisant a = o, on ait x =— T, Tétant une fonction de t; on substituera cette valeur de x, dans ■: et dans u: soient Z et u, ce que deviennent alors ces quantités; on aura dans la supposition de a —: o ,

du

(d-uA

[da")'^

et par conséquent, on aura , par ce qui précède,

'f"'~ i.2..S....n.tZr— ' ce qui donne

V du

dl 1 .a

.2 • dt ^ 1.3.3' (ll^ 1 '

Il ne s*agit plus maintenant que de déterminer la fonction do t et de a, que x représente, en intégrant l'équation aux difleronces

partielles f-^|=z|-7-j. Pour cela, on observera que en substituant au lieu de ( -p| , sa valeur z . l-j-j ,

on aura

ax

^^i^ Adt-^zd(t\ = (j^ .\d.[t^^

on aura donc

dx

\ax/ \dtj

ce qui donne, en intégrant, x=^(p[t-+-OLz)^ (p (f-haz) étant une fonction arbitraire de t-\-OLz; en sorte que la quantité que nous avons nommée T'est égale à (p[t). Ainsi, toutes les fois que Ton aura entre a: et a une équation réductible à cette forme,

x=(p[t+aLz)\

la valeur de u sera donnée par la formule (p ), dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de a.

Supposons maintenant que u soit une fonction des deux variables X et x\ ces variables étant données par les équations aux différences partielles,

(dx\ fdx\ /dx\ , fdx\ lû)~^' \dt) ' \rf?j — ^ • [dT) '

dans lesquelles z et z sont fonctions quelconques de x et x. Il est facile de s'assurer que les intégrales de ces équations sont

x= (p ( f -h az) , x = \|/ ( f'-4-aV) ;

(^ (/-4 az) et \|/ (f'-4-aV) étant des fonctions arbitraires, Tune de t-^oLz, et l'autre, de f'-haV. On a de plus

(du\ /du\ (^^\ ' /^'*\

di)'-"'''\dT)' \7û')—^'\dr)'

Cela posé, si l'on conçoit x éliminé de u et de z, au moyen de l'équation a?'= \|/ (f'-i-a z'); u et z deviendront des fonctions de X, CL, et ï sans a ni t; on aura donc par ce qui précède.