PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

eh différentiant cette équation par rapport à ai^ on aura

(ddu\ (dz\ ldu\

(dda\ \d7dt)'

or on a

(^,J = 2;'. (^,) , et en changeant, dans cette équation,

a en z, on a

donc

(dz\^.(dz\, \da')—^-\dt')'

En supposant, dans le second membre de cette équation, a et a* nuls, et en y changeant z en Z^ z' en Z'*', et u en u, on aura la

valeur dé f . "; |, dans les mêmes suppositions; ce qui donne

'"'"' 1.2.3.... 71. rfr-\ 1.2.3.... 7l'. rff'"'-*

En continuant ainsi, on aura la valeur de 9„, »',«•, etc. pour un nombre quelconque de variables.

Quoique nous ayons supposé u, z, z, z", etc. fonctions de x, x\ X y etc. sans f, f', f", etc. on peut cependant supposer qu elles renferment ces dernières variables; mais alors en y désignant ces variables par f , f ', f ", etc. il faudra supposer f , t', f^', etc. constants dans les différentiations, et restituer après ces opérations, f, f', etc. au lieu de i^y t[y etc.

22. Appliquons ces résultats au mouvement eUip tique des planètes. Pour cela nous reprendrons les équations (y*) du n** 20. Si Ton compare l'équation /if=tt— e.sin. a, ou ii=/if+e.sin. u, avec celle-ci x=^(^ (f-H-az); x se changera en a, f en nf, a en

204 MÉGANIQUE CÉLESTE.

ty z en sin.a, et ^ (<^-a^) en nf-Hc-sin.a; la fonkiule (p) du numéro précédent deviendra donc

^ (») = ,// {/if)-+-c.>|/ (re0.sm.nf-+-^-^. <^^ ^^^ !

>^' (n f) étant égal à \ ■■-. Pour développer cette formule, nous

observerons que c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, on a

ï étant quelconque. En développant les seconds membres de ces équations, et en substituant ensuite, au lieu de c^'^^~* et de c"""**'^^~^, leurs valeurs cos.rnf-f-N/ — i.sin.rnt, et cos. rnf — V^ — i.sin.rnf, r étant quelconque; on aura les puissances i de sin.nt^ et de COS. Tif, développées en sinus et cosinus de langle n/ et de ses multiples; cela posé, on trouvera

sin. /i t H sin*. « f H ^ • sin\ n f H s-r . sin.* n f -h etc.

= sin.7lf — . JCOS. 2 71/--1 I