PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

il suffira de leur ajouter le logarithme de i — e, pour avoir celui de sin. x : on aura par conséquent la correction à faire à l'anomalie U, calculée dans la parabole, pour avoir l'anomalie correspondante dans une ellipse fort excentrique.

24. H nous reste à considérer le mouvement dans une orbite hyperbolique. Pour cela, nous observerons que dans l'hyperbole le demi-grand axe a devient négatif, et l'excentricité e surpasse l'unité. En faisant donc dans les équations [f) du n*" 20,

a= — a, et u= , et en substituant, au lieu des sinus et

des cosinus, leurs valeurs en exponentielles imaginaires, la première de ces équations donnera

La seconde deviendra

rr=ia.j|(?.(c"'-4-c-"') — ij.

Enfin, si Ton prend convenablement le signe du radical de la troisième équation, pour que v croisse avec t, et par conséquent

avec n, on aura

/ il

tang.Yi; = \/ . ,r .

Supposons dans ces formules, h =log. tang. (t''^ +~y'®)» ^ étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité, et le logarithme précédent étant hyperbolique; on aura

-ix^ = e . tang. tar - log.tang. (|7r r-|t!y),

tang

r=:ia . { 1 ,

(cos.nr ]

L'arc '\^ est le moyen mouvement angulaire durant le temps t,

(lu corps m, supposé mû circulairement autour de M, à la distance a. Cet arc est facile à déterminer, en le réduisant en parties du rayon : la première des équations précédentes donnera, par des essais, la valeur de Fangle t«T correspondante au temps t; les deux autres équations donneront ensuite les valeurs correspondantes de r et de v.

25. T exprimant la révolution sidérale d'une planète dont a est la moyenne distance au soleil, la première des équations [f) du n° 20 donnera n T= i ir ; mais on a par le même numéro

n; on aura donc

rwt 1 TS ,0,

Si l'on néglige les masses des planètes, par rapport à celle du soleil, (X exprimera la masse de cet astre, et cette quantité sera la même pour toutes les planètes; ainsi, pour une seconde planète dont a et T seraient la dislance moyenne au soleil, et le temps de la révolution sidérale, on aura encore

on aura donc

c est-à-dire, que les carrés des temps des révolutions de différentes planètes sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites; ce qui est une des lois découvertes par Kepler. On voit, par l'analyse précédente, que cette loi n'est pas rigoureuse, et qu'elle n'a lieu qu'autant que l'on néglige l'action des planètes les unes sur les autres et sur le soleil.