PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

r — r <:iY^y ^ étant infini dans la parabole, on a r — rz^^r; et dans l'hyperbole, où a est négatif, on a r — r:>Y^' 27. L'équation

est remarquable, en ce quelle donne la vitesse indépendamment de Texcentricité de l'orbite. Elle est renfermée dans une équation plus générale qui existe entre le grand axe de l'orbite, la corde de l'arc elliptique, la somme des rayons vecteurs extrêmes, et le temps employé à décrire cet arc. Pour parvenir à cette dernière équation, nous reprendrons les équations du mouvement elliptique, données dans le n° 20, en y supposant pour plus de simplicité jx=i. Ces équations deviennent ainsi :

i-t-e.cos.v

r = a.[i — e. cos. u),

t =a\ [u — e. sin. u).

Supposons que r, v, u et t correspondent à la première extrémité de l'arc elliptique, et que r, v, u et { correspondent à l'autre extrémité, on aura

j-f-e.cos.i;" r=i a. (i — e.cos. u),

Soit t — <=T, =6, =6, r\-r=iR:

si l'on retranche l'expression de t de celle de t', et si l'on observe (jue

sin. u — sin. tt= a . sin. ê. cos. 6',

on aura

T = 2a*.{ê — e.sin.ê.cos.ê'j.

Si Ton ajoute Tune à l'autre les deux expressions de r et de r en u et u, et si l'on observe que

COS. tt'-i-cos. tt= 2 . COS. ê . COS. ê'; on aura

R=iia.[\ — e.cos.ê.cos.ê').

Maintenant, soit c la corde de l'arc elliptique, on a

c*=r*-f-r' — 2 rr. COS. (v — i?');

mais les deux équations

— i 1 r=aA\ — e.cos. u ,

i-+-e.cos.v V ^ '

donnent celles-ci ,

a.fcos. u—e] . a . V/i— e*. sin. u CQS.v=^— -, sin.i;= — ^

On a pareillement

, a.fcos. tt'—e) . , a.V/i — e*.sin. b'

COS. i; = — ^ 7 ', sm.i;= — ^ ? ;

on aura donc

rr. COS. (v—v')=a*. (e— cos. u) .(e— cos.u )-t-a*. (i— ^).sin.u.sin.u ;

et par conséquent,

c^^^'Aa^. ( 1 — e^) . ( 1 — sin. u. sin. u — cos. u.cos. u )

a'c*. (cos. u — COS. u )*;

or on a

sin. u . sin. u -+- cos. u . cos. u = a . cos*.ê — i ,

COS. u — COS. u = 2 . sin. ê . sin. ê' ;

partant

c* = 4 a*, sin*. ê . ( i — e\ cos*. ê' ) ;

on a donc ainsi les trois équations suivantes,

Rzn^ia. \ 1 — e.cos. € .cos. ê'j ,

T = 2 a ' . j € — e . sin. ê . cos. ê'| , c'=i4a*. sin*. ê. ji — e'.cos'. ê'j.

La première de ces équations donne

2a — it

€ . COS. ê'

2 a . COS. 6 '

en substituant cette valeur de a.cos. €', dans les deux autres, on aura

T = 2a'. jê-+-(^-^^^— j.tang.êj, c» = 4 a\ tang». g . j cos\ € - ( ''''~^ )' I -

Ces deux équations ne renferment point Texcenlricité e; et si dans la première on substitue, au lieu de €, sa valeur donnée par la seconde, on aura T en fonction de c, /? et a. On voit ainsi que le temps T ne dépend que du demi-grand axe, de la corde c et de la somme R des rayons vecteurs extrêmes.

Si Ton fait

2 a — R-hc , ia — R — c

'la ia

la dernière des équations précédentes donnera

COS. 2ê=2z'-i-y (i — z').(i — z^y,

d'où Ton tire

2 ê = arc . COS. z — arc . cos. z ,