PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

Dans rhyperboie, a est négatif; z et z deviennent plus grands que l'unité; les arcs, arc.cos. z et arc.cos. z sont imaginaires, et Ton a en logarithmes hyperboliques,

arc . COS. z = —:z=z - log. ( z H- sj z* — i ) ,

arc . COS. 2'= —=z . log. ( z'-f- \J z'^ — 1 ) ;

la formule [a) devient ainsi, en y changeant a dans a,

''"'^•^V'^^=FV'^^-log.(z

La formule (a) donne le temps qu'un corps emploie à descendre en ligne droite vers le foyer, en partant d'une distance donnée, avec une vitesse donnée: il suffit, pour cela, de supposer l'ellipse quil décrit alors infiniment aplatie. Si l'on suppose, par exemple, que le corps parte de l'état du repos, à la distance 2a du foyer, et que l'on cherche le temps T, qu'il emploie à s'en approcher à la distance c, on aura dans ce cas, /{ = 2aH-r; r^=ia — c; ce

qui donne 2= — 1; z= ; la formule (a) donnera donc

m a^ T \ le — a\ hiac — c* T = . TT — arc . COS. ( 1 -+- V / ; •

Il y a cependant une différence essentielle entre le mouvement elliptique vers le foyer, et le mouvement dans une ellipse infiniment aplatie : dans le premier cas, le corps parvenu au foyer passe au delà, et s'en éloigne à la même distance dont il était parti; dans le second cas, le corps parvenu au foyer revient au point d'où il était parti. Une vitesse tangentielle à l'aphélie, quelque petite quelle soit, suffit pour produire cette différence.

qui n'influe point sur le temps que le corps emploie à descendre vers le foyer.

28. Les observations ne faisant pas connaître les circonstances du mouvement primitif des corps célestes, on ne peut pas déterminer par les formules du n° 26 les éléments de leurs orbites. Il est nécessaire, pour cet objet, de comparer entre elles leurs positions respectives observées à différentes époques; ce qui présente d'autant plus de difficultés, que l'on n'observe point ces corps du centre de leurs mouvements. Relativement aux planètes, on peut, au moyen de leurs oppositions ou de leurs conjonctions, avoir leur longitude telle qu'on l'observerait du centre même du soleil. Cette considération, jointe à la petite excentricité et au peu d'inclinaison de leurs orbites à l'écliptique , donne un moyen fort simple d'avoir leurs éléments. Mais dans l'état actuel de l'astronomie, les éléments de ces orbites n'ont besoin que de corrections très-légères; et comme les variations des distances des planètes à la terre ne sont jamais assez grandes pour les dérober à nos regards, on peut les observer sans cesse, et rectifier par la comparaison d'un grand nombre d'observations, les éléments de leurs orbites, et les erreurs mêmes dont les observations sont susceptibles. Il n'en est pas ainsi des comètes; nous ne les voyons que vers leur périhélie : si les observations de leur apparition sont insuffisantes pour déterminer leurs éléments , nous n'avons alors aucun moyen de suivre ces astres par la pensée, dans l'immensité de l'espace, et quand la suite des siècles les ramène vers le soleil, il nous est impossible de les reconnaître; il est donc important de pouvoir déterminer par les seules observations de l'apparition d'une comète, les éléments de son orbite; mais ce problème, pris en rigueur, surpasse les forces de l'analyse, et l'on est obligé de recourir aux métliodes d'approximation , pour avoir les premières valeurs des éléments, que l'on peut corriger ensuite avec toute la précision que les observations comportent.