PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

Si l'on faisait usage d'observations éloignées entre elles, les éliminations conduiraient à des calculs impraticables; il faut donc se borner à ne considérer que des observations voisines, et, avec cette restriction même, le problème présente encore de grandes clifTicultés. Après y avoir réfléchi, il m'a paru qu'au lieu d'employer directement les observations, il est plus avantageux d'en tirer des données qui ofi^rent un résultat exact et simple, et je me suis assuré que celles qui remplissent le mieux cette condition sont la longitude et la latitude géocentriques de la comète, à un instant donné, et leurs premières et secondes diflerences divisées par les puissances correspondantes de l'élément du temps; car, au moyen de ces données, on peut déterminer rigoureusement et avec facilité, les éléments, sans recourir à aucune intégration, et par la seule considération des équations différentielles de l'orbite. Cette manière d'envisager le problème permet d'ailleurs d'employer un grand nombre d'observations voisines, et de comprendre ainsi un inteiTalle considérable entre les observalions extrêmes, ce qui est très-utile pour diminuer l'influence des erreurs dont ces observations sont toujours susceptibles, à cause de la nébulosité qui environne les comètes. Je vais d'abord présenter les formules nécessaires pour conclure les diflerences premières de la longitude et de la latitude , d'un nombre quelconque d'observations voisines; je déterminerai ensuite les éléments de l'orbite d'une comète, au moyen de ces différences; enfin, j'exposerai le moyen qui m'a paru le plus simple, pour corriger ces éléments, par trois observations éloignées entre elles.

29. Soit, à une époque donnée, a la longitude géocentrique d'une comète, et 6 sa latitude boréale géocentrique, les latitudes australes devant être supposées négatives. Si l'on désigne par s le nombre des jours écoulés depuis cette époque, la longitude et la latitude géocentriques de la comète après cet intervalle seront

230 MÉCANIQLE CÉLESTE.

exprimées, en vertu de la formule (;) du n° 21 , par les deux suites ,

û /dB\ s* /d'e\ s' /d'6\

On déterminera les valeurs de a, (-t^j , (-jr) j etc. 0, l^\ , etc.

au moyen de plusieurs longitudes et de plusieurs latitudes géocen triques observées. Pour y parvenir de la manière la plus simple, considérons la suite infinie qui exprime la longitude géocentrique : les coefficients des puissances de s, dans cette suite, doivent être déterminés par la condition qu elle doit représenter chaque longitude observée, en y substituant pour s, le nombre des jours qui lui correspond; on aura ainsi autant d'équations que d'observations ; et si le nombre de celles-ci est ti , on ne pourra déterminer à leur moyen, dans la suite infinie, que n quantités a,

I ^ j, etc. Mais on doit observer que s étant supposé fort petit,

on peut négliger les termes multipliés par 5", 5**"^', etc. ce qui réduit la suite infinie à ses ti premiers termes, que Ton pourra déterminer par les n observations. Ces déterminations ne seront qu'approchées, et leur exactitude dépendra de la petitesse des termes que l'on néglige; elles seront d'autant plus précises, que s sera plus petit, et que l'on emploiera un plus grand nombre d*observations: La théorie des interpolations se réduit donc à trouver une fonction rationnelle et entière de s, qui soit telle, qu'en y substituant pour s le nombre des jours qui correspond à chaque observation , elle se change dans la longitude observée.

Représentons par ê, ê', ê", etc. les longitudes observées de la comète, et par i, i, ï', etc. les nombres des jours dont elles suivent l'époque donnée; ces nombres doivent être supposés néga-

tifs pour les observations antérieures à cette époque. Si Ton fait

56 , -Tû — -f ^^=- 3ê , -Tflj — ry, = 3S , etc.

oS do ^^ SS do ^ x)/ ,

— Tff T- = do , rfit 77- = à*0 , etc.

5'ê, etc.

etc.

la fonction cherchée sera

g+(5,-).3g+(5 i).(5-r).5«g+(5-iy(5---r).(5--r).5^g-t-etc.

car il est facile de s'assurer que si Ton fait successivement s=i, 5 = r, s = iy etc. elle se changera dans ê, ê', ê", etc.

Maintenant, si Ton compare la fonction précédente à celle-ci ,

(da\ 5' / d}(t \

on aura, en égalant les coefficients des puissances semblables de s,

a = g -i.5ê-+-i.r.5*g— i.r.r.5^ê-4-etc.

/^\ =5g — {i-^i!) . 5'g + (u' + i7-+-i7) . 5»ê — etc.

les différences ultérieures de a nous seront inutiles. Les coefficients de ces expressions sont alternativement positifs et négatifs; le coefficient de 5'^ê est, abstraction faite du signe, le produit rkvy des r quantités i, i', i. . . . i^^'~^\ dans la valeur de a; il est la somme des produits des mêmes quantités, r — i à r — i, dans la valeur

de (-r-); enfin il est la somme des produits de ces quantités,

r — 2 à r — 2, dans la valeur de \ . (-jt)-

Si Ton nomme y, y, y', etc. les latitudes géocentriques observées de la comète, on aura les valeurs de 0, (~r")» ('Xi)» ^^^' ^^

changeant dans les expressions précédentes de a, i -y-j, (^-7)» etc.

les quantités ê, ê', &\ etc. en y, y, y\ etc.

Ces expressions sont d'autant plus précises qu'il y a plus d'observations et que les intervalles qui les séparent sont plus petits; on pourrait donc employer toutes les observations voisines de l'époque choisie, si elles étaient exactes; mais les erreurs dont elles sont toujours susceptibles conduiraient à un résultat fautif; ainsi, pour diminuer l'influence de ces erreurs, il faut augmenter l'intervalle des observations extrêmes, à mesure que l'on emploie plus d'observations. On pourra de cette manière, avec cinq observations, embrasser un intervalle de trente-cinq ou quarante degrés, ce qui doit conduire à des valeurs très-approchées de la longitude et de la latitude géocentriques, et de leurs premières et secondes différences.

Si l'époque que l'on choisit est telle qu'il y ait un nombre égal d'observations avant et après, de manière que chaque longitude qui la suit ait une longitude correspondante qui la précède du

même intervalle, cette condition rendra les valeurs de a, {-7^), et (-7—)» plus approchées, et il est facile de s'assurer que de nouvelles observations, prises à égales distances de part et d'autre de l'époque, ne feraient qu'ajouter à ces valeurs des quantités qui seraient, par rapport à leurs derniers termes, du même ordre que

le rapport de 5'.(-y-^|à a. Cette disposition symétrique a lieu

lorsque, toutes les observations étant équidistantes, on fixe l'époque au milieu de l'intervalle qu'elles comprennent; il y a donc de l'avantage à employer de semblables observations. En général, il sera toujours avantageux de fixer l'époque vers le milieu de cet