PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME
r=a. (i — e.cos.u); T=a\ [u — ^.sin.u).
La première de ces équations donne l'angle a, et la seconde fait connaître T. Ce temps, ajouté ou retranché de l'époque, suivant que la comète s'approche ou s'éloigne du périhélie, donnera l'instant de son passage par ce point. Les valeurs de ^ et de j déterminent l'angle que la projection du rayon vecteur r fait avec l'axe des x, et, puisque l'on connaît l'angle /, formé par cet axe et par la ligne des nœuds, on aura l'angle que forme cette dernière ligne avec la projection de r; d'où l'on tirera, au moyen de l'inclinaison ^ de l'orbite, l'angle formé par la ligne des nœuds et par le rayon r. Mais l'angle u étant connu, on aura, au moyen de la troisième des équations [f) du n° 20, l'angle v que forme ce rayon avec la ligne des absides; on aura donc l'angle compris entre les deux lignes des absides et des nœuds, et par conséquent la position du périhélie. Tous les éléments de l'orbite seront ainsi déterminés.
34. Ces éléments sont donnés, par ce qui précède, en fonctions de p, f-y^i et des quantités connues; et, comme (-r^J est
donné en p parle n° 31, les éléments de l'orbite seront fonctions de p et de quantités connues. Si l'un d'eux était donné, on aurait une nouvelle équation, au moyen de laquelle on pourrait déterminer p; cette équation aurait un diviseur commun avec l'équation (4) du n° 31; et, en cherchant ce diviseur par les méthodes ordinaires, on parviendrait à une équation du premier degré en p; on aurait de plus une équation de condition entre les données des observations, et cette équation serait celle qui doit avoir lieu pour que l'élément donné puisse appartenir à l'orbite de la comète.
Appliquons maintenant cette considération à la nature. Pour cela , nous observerons que les orbites des comètes sont des ellipses très-allongées, qui se confondent sensiblement avec une parabole.
dans la partie dans laquelle ces astres sont visibles; on peut donc supposer, sans erreur sensible, a = oc, et par conséquent, - = o; l'expression de - du numéro précédent donnera ainsi
2 (dx^'+-dy^-t-dx*)
r dr
Si l'on substitue ensuite, au lieu de i^)» (irl^Mif) l^urs valeurs trouvées dans le même numéro, on aura, après toutes les réductions et en négligeant le carré de R — i.
^».(§).j(iî'-.).co5.(4-.) -.!i!Li^j (5)
fda\ (,«, \ • /i \ cos.(i4 — a)) I 2
en substituant, dans cette équation, au lieu def-i^J , sa valeur
trouvée dans le n° 31; en faisant ensuite
lang.0.(-^j-(-fi.lang.Ô.sin.(A— a) \—L-l.-L. ,
^^- ' (d.\ l.j— 1^ -(fi-0.cos.,^-a)}
[dl)
|£2!i^-z:l)..^(iî,).si„.(.l-a)i;
OD aura
et, par conséquent,
cette équation n'est que du sixième degré, et, sous ce rapport, elle est plus simple que l'équation (4) du n** 31; mais elle est particulière à la parabole, au lieu que Téquation (4) s'étend à toute espèce de section conique.
35. On voit par l'analyse précédente que, la détermination des orbes paraboliques des comètes conduisant à plus d'équations que d'inconnues, on peut, en combinant diversement ces équations, former autant de méthodes différentes pour calculer ces orbes. Examinons celles dont on doit attendre le plus de précision dans les résultats, ou qui participent le moins aux erreurs des observations.
C'est principalement sur les valeurs des différences secondes
(-^rf j ^MTTr)' m^^ ^^^ erreurs ont une influence sensible; en
effet, il faut, pour les déterminer, prendre les différences finies des longitudes et des latitudes géocentriques de la comète observées dans un court intervalle de temps ; or ces différences étant moindres que les différences premières , les erreurs des observations en sont une plus grande partie aliquote; d'ailleurs les formules du n° 29 qui déterminent par la comparaison des observations les valeurs de a, 0, (j^j , ijj-j , i^j et (■^)» donnent
avec plus de précision les quatre premières de ces quantités que
les deux dernières ; il y a donc de l'avantage à s'appuyer le moins
qu'il est possible sur les différences secondes de a et de 9 ; et
comme on ne peut pas les rejeter toutes deux à la fois, la mérous I. 3S
thode qui n emploie que la plus grande doit conduire aux résultats les plus précis; cela posé,
Reprenons les équations trouvées dans les n°' 31 et 34.
r'= -Am H-aiJ.p.cos.fi— a)-l-iî',
/dda\
(dp\ R.%m.{A—a) \j \\ ^'[drj .j.
\dt)~ /da\ '\H'~r>y (da\ ' ^^f
/da\ '\H' rM /da\ '
i(dde\ (d(t\ . f.
\dtj— ^^'](dB\ -^2.^^^^j.tang.»H- .^
\\dt] \dt)
jR. sin.0.cos.6.cos.{A — a) ( i i
Mr
cos'.fl
,.(|f).j(ff-,).cos.(A^)-î!îil^
:p.(|^) . j(ff.) .sin. (4-^)+ e^J^j -H ^ - i.
Si Ton veut rejeter (-777) , on ne considérera que la première, la
seconde et la quatrième de ces équations; en éliminant (17) <lc
la dernière au moyen de la seconde, on formera une équation qui, délivrée de fractions, renfermera un terme multiplié par r*p', et d'autres termes affectés des puissances paires et impaires de p et de r. Si Ton met dans un membre tous les termes affectés des puissances paires de r, et dans l'autre membre tous les termes affectés de ses puissances impaires, et que Ton carre chacun de
