PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

ces membres pour n'avoir que des puissances paires de r, le terme multiplié par r*p^ en produira un multiplié par r"p*; en substituant donc, au lieu de r% sa valeur donnée par la première des équations (L), on aura une équation finale du seizième degré en p. Mais, au lieu de former cette équation pour la résoudre ensuite 5 il sera plus simple de satisfaire, par des essais, aux trois équations précédentes.

Si Ton veut rejeter (■;TTr)i il faudra considérer la première, la

troisième et la quatrième des équations (L). Ces trois équations conduisent encore à une équation finale du seizième degré en p , et Ton peut facilement y satisfaire par des essais.

Les deux méthodes précédentes me paraissent être les plus exactes que Ton puisse employer dans la détermination des orbes paraboliques des comètes; il est même indispensable d'y recourir si le mouvement de la comète en longitude ou en latitude est insen^ble ou trop petit pour que les erreurs des observations n'altèrent pas sensiblement sa seconde différence : dans ce cas il faudra rejeter celle des équations (L) qui contient cette différence. Mais quoique dans ces méthodes on n'emploie que trois de ces équations, cependant la quatrième est utile pour déterminer parmi toutes les valeurs réelles et positives de p, qui satisfont au système des trois autres équations , celle qui doit être admise.

36. Les éléments de l'orbite d'une comète, déterminés par ce qui précède, seraient exacts si les valeurs de a, 0, et de leurs premières et secondes différences étaient rigoureuses; car nous avons eu égard, d'une manière fort simple, à l'excentricité de Torbe terrestre, au moyen du rayon vecteur R de la terre, correspondant à son anomalie vraie, augmentée d'un angle droit; nous nous sommes permis seulement de négliger le carré de cette excentricité, comme une trop petite fraction pour que son omis-

sion puisse influer sensiblement sur les résultats. Mais 0, a, et leurs difiFérences sont toujours susceptibles de quelque inexactitude, soit à cause des erreurs des observations, soit parce que nous n'avons tiré ces difîerences des observations que d'une manière approchée. Il est donc nécessaire de corriger les éléments au moyen de trois observations éloignées entre elles, ce que l'on peut faire d'une infinité de manières; car si l'on connaît à peu près deux quantités relatives au mouvement d'une comète , telles que les rayons vecteurs correspondants à deux observations, ou la position du nœud et l'inclinaison de l'orbite , en calculant les observations, d'abord avec ces quantités, et ensuite avec d'autres quantités qui en soient très-peu difiFérentes, la loi des diffiérences entre les résultats fera aisément connaître les corrections que ces quantités doivent subir. Mais parmi les combinaisons deux à deux des quantités relatives au mouvement des comètes, il en est une qui doit ofirir le calcul le plus simple, et qui, par cette raison, mérite d'être recherchée : il importe, en efiet, dans un problème aussi compliqué, d'épargner au calculateur toute opération superflue. Les deux éléments qui m'ont paru présenter cet avantage sont la distance périhélie et l'instant du passage de la comète par ce point: non-seulement ils sont faciles à déduire des

valeurs de p et de | -r^l ; mais il est très-aisé de les corriger par

les observations, sans être obligé, à chaque variation qu'on leur fait subir, de déterminer les autres éléments correspondants de l'orbite.

Reprenons l'équation trouvée dans le n*" 19.

, ,v r* r*.dr*

a.[i — e*) est le demi-paramètre de la section conique dont a est le demi-grand axe, et ea l'excentricité: dans la parabole, où a est infini, et e égal à l'unité, a.(i — e*) est le double de la distance