PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

célestes , est de Tordre des forces perturbatrices. Supposons ensuite que Ton ait les intégrales finies de ces équations lorsque Q, Q, etc. sont nuls: en les difFérentiant chacune, i — i fois de suite, elles formeront avec leurs différentielles, in équations au moyen desquelles on pourra déterminer, par l'élimination , les arbitraires c, c, c\ etc. en fonctions de t, y\ y\ etc. et de leurs différences, jusqu'à l'ordre i — i. En désignant donc par F, V\ V\ etc. ces fonctions, on aura

c=F, c=z.V\ c"=F\ etc.

Ces équations sont les in intégrales de l'ordre i i , que les équations différentielles doivent avoir, et qui, par l'élimination des différences des variables, donnent leurs intégrales finies.

Maintenant, si l'on différentie les intégrales précédentes df» l'ordre / — i , on aura

G = dV, o = dV\ o=^ dV\ e te

or il est clair que ces dernières équations étant différentielles de l'ordre i sans renfermer d'arbitraires, elles ne peuvent être que les sommes des équations

multipliées chacune par des facteurs convenables pour que ces sommes soient des différences exactes; en nommant donc Fdt, Fdty etc. les facteurs qui doivent multiplier respectivement ces équations, pour former la suivante or^r^dV, en nommant pareillement Ildty H'dt, etc. les facteurs qui doivent multiplier respectivement les mêmes équations, pour former celle-ci o— dV\ et ainsi du reste, on aura

dV'.

I dt' \ I dt' \

dt' \ I dt' \

etc.

etc.

F, F', etc. H, H' y etc. sont des fonctions de t, y, y >y > ^t^- ^^ de leurs différences jusqu'à Tordre i — i : il est facile de les déterminer lorsque F, V, etc. sont connus; car F est évidemment le

coefficient de tt , dans la différentielle de F; F' est le coefficient

de -T^, dans la même différentielle, et ainsi de suite. Pareille-

, . éy d'y'

ment, //, //', etc. sont les coefficients de jt-' -rir-» etc. dans la

dt' dV

différentielle de V; ainsi , puisque Ton est supposé connaître les fonctions K, V \ etc. en les différentiant uniquement par rapport

à , •i^ , , /^ , etc. on aura les facteurs par lesquels on doit

multiplier les équations différentielles

o=^-f-P, o=--f-f-F, etc.

pour avoir des différences exactes; cela posé, Reprenons les équations différentielles

o = -^-t-P-+-a.O, o=-^-t-F-+-a.Q', etc.

Si Ton multiplie la première par Fdt, la seconde par F'dt, et ainsi du reste, on aura, en les ajoutant,

o = dV-hadt |FQ^-FQ' ^-etc.|; on aura , de la même manière ,

o = dr-h(idt.\HQ^[irQ-^eic.l etc.

d'où l'on tire, en intégrant,

c —a.fdt. \ F Q-t-FQ'-f-etc. | = F ,

c'—a.fdt.\HQ^H'Q^eic. \ = V\ etc.