PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

néaire dans les intégrales successives des équations différentielles proposées.

Il suit de là que F, F', etc. étant les coefficients de -j^,

-rff- , etc. dans la différentielle de V; H, H\ etc. étant les coeffi-

aV

cients des mêmes difl'érences, dans la dilTérentielle de V, et ainsi du reste, ces quantités sont fonctions de la seule variable t Partant, si Ton suppose Q, Q', etc. fonctions de t seul, les différences rft.jFQ-4-F'(7-+-etc.}, dt.\HQ-v-H'Q-^eic.\, etc. seront exactes.

De là résulte un moyen simple d'avoir les intégrales d'un nombre quelconque n d'équations différentielles linéaires de l'ordre i, et qui renferment des termes quelconques aQ,aQ, etc. fonctions de la seule variable t, lorsque l'on sait intégrer les mêmes équations, dans le cas où ces termes sont nuls; car alors, si l'on différeritie leurs n intégrales finies, î — i fois de suite, on aura in équations qui donneront par l'élimination les valeurs des in arbitraires c, c, etc. en fonctions de t, y, y, etc. et des différences de ces variables jusqu'à l'ordre i — i. On formera ainsi les in équations c=V; c=V', etc. cela posé, F, F', etc. seront les

coefficients de ,■__'; , , -z, ^ etc. dans V; H, H\ etc. seront les

coefficients des mêmes différences dans V\ et ainsi du reste; on aura donc les intégrales finies des équations différentielles linéaires ,

o = -^ H-P-4-a.Q, o= -jp- -^P-^a.Qy etc.

en changeant dans les intégrales finies de ces équations privées de

leurs derniers termes olQ, aQ, etc. les arbitraires c,c, etc. dans

c a./rff.{FQ-f-F'0'-t-etc.î, c— a. fdt.\HQ-^H'Q-h etc.] etc.

Considérons, par exemple, l'équation différentielle linéaire

d*y L'intégrale finie de Téquation o= -777- -t-a*/, est

c . c y= -.sin. atH .cos.at^

c et c étant arbitraires. Cette intégrale donne en la difierentiant,

dy , .

-j~ =c. cos.af — c. sm. at.

dt

Si Ton combine cette différentielle avec l'intégrale elle-même, on formera les deux intégrales du premier ordre,

dy c=ay. sm,af-f- jjr. cos.at,

c=aj.cos.af jj. sm.at;

ainsi Ton aura , dans ce cas ,

F=cos. at, H= — sin. af;

l'intégrale complète de la proposée sera donc

y=-.sm.afH — .cos.at .Qat.cos.at-] .IQdt. sm.at.

Il est facile d'en conclure que si Q est composé de termes de la

forme K. ' (mt-f-e), chacun de ces termes produira, dans la COS. V / ' r '

valeur de j, le terme correspondant

aK sin.

m' — a* 'ces.

(mf-f-e).

Si m est égal à a, le terme K. **"* (m f-t- e) produira dans j, i** le terme — -r— ;. (af-f-e) qui, étant compris dans les deux

termes -.sin. af H — .cos. af, peut être négligé; 2** le terme . . ' [at-he)^ le signe -f- ayant lieu, si le terme de l'ex-