PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

pression de Q est un sînus, et le signe — ayant lieu, si ce terme est un cosinus. On voit ainsi comment Tare t se produit hors des signes sinus et cosinus , dans les valeurs de y, y, etc. par les intégrations successives, quoique les équations difiFérentielles ne le renferment ^oint sous cette forme. Il est clair que cela aura lieu toutes les fois que les fonctions FQ, F'Q, etc. HQ, H'Q, etc. renfermeront des termes constants.

42. Si les différences dt.\FQ-\-ctc.\, dt.\nQ-+-clc.\, etc. ne sont pas exactes, l'analyse précédente ne donnera point leurs intégrales rigoureuses; mais elle offre un moyen simple d'avoir des intégrales de plus en plus approchées, lorsque a est fort petit, et lorsqu'on a les valeurs de y, y\ etc. dans la supposition de a nul. En dilférentiant ces valeurs^ i — i fois de suite, on formera les équations différentielles de l'ordre i — i ,

c=:V, c = V', etc.

Les coefficients de -y^ , -nr , dans les différentielles de V, Y\ etc.

av av

étant les valeurs de F, F\ etc. i/, ii/', etc. on les substituera dans les fonctions différentielles

df.{FQ-f-FQ'-f-etc.j, e/f. if/QH-i/'(7-+-etc.[, etc.

Ensuite, on substituera dans ces fonctions, au lieu de j, y, etc. leurs premières valeurs approchées; ce qui rendra ces différences fonctions de i et des arbitraires c, c, etc. Soient Tàt, Tdt, etc. ces fonctions: si l'on change, dans les premières valeurs approchées de y, y, etc. les arbitraires c, c, etc. respectivement dans c — a /Tdt, c — a./Tdt, etc. on aura les secondes valeurs approchées de ces variables.

On substituera de nouveau ces secondes valeurs dans les fonctions difiFérentielles

dt.lFQ-^eic], c/f . {fifQH-elc.j, etc.

or, il est visible que ces fonctions sont alors ce que deviennent celles-ci, Tdt, Tdt, etc. lorsque Ton y change les arbitraires c, c, etc. dans c — a./Tdt, c — a./Tdt, etc. soient donc T, T/, etc. ce que deviennent T, T, etc. par ces changements, on aura les troisièmes valeurs approchées de y, y, etc. en changeant dans les premières c, c, etc. respectivement dans c — a./T^.dt, c — (t.fT\ dt, etc. Nommons pareillement T , T', etc. ce que deviennent T, T, etc. lorsque Ton y change c, c, etc. dans c — ol./T^. dt, c — a./T'.dt, etc. on aura les quatrièmes valeurs approchées de y, y, etc. en changeant dans les premières valeurs approchées de ces variables, c,*c, etc. dans c — a.fT^.dt,c — a.fT\dt, etc. et ainsi de suite.

Nous verrons ci-après que la détermination des mouvements célestes dépend presque toujours d'équations différentielles de la forme

o=^^a\y-ha.Q,

Q étant une fonction rationnelle et entière de j, de sinus et de cosinus d'angles croissants proportionnellement au temps représenté par t. Voici le moyen le plus facile d'intégrer cette équation.

On supposera d'abord a nul, et l'on aura, par le numéro précédent , une première valeur de y.

On substituera cette valeur dans Q, qui deviendra ainsi une fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus d'angles proportionnels à t. En intégrant ensuite l'équation différentielle, on aura une seconde valeur de y, approchée jusqu'aux quantités de Tordre a inclusivement.

On substituera de nouveau cette valeur dans Q, et, en intégrant l'équation différentielle, on aura une troisième valeur approchée de y, et ainsi de suite.

Cette manière d'intégrer par approximation les équations différentielles des mouvements célestes, quoique la plus simple de