Considérons l'équation différentielle de l'ordre i

a étant très-petit, et P et Q étant des fonctions algébriques dey, ^ , . .{ et de sinus et de cosinus d'angles croissants proportionnellement à /. Supposons que l'on ait l'intégrale complète de cette équation différentielle, dans le cas de a=o, et que la valeur de j, donnée par cette intégrale, ne renferme point l'arc t, hors des signes sinus et cosinus; supposons ensuite qu'en intégrant cette équation par la méthode précédente d'approximation , lorsque a n'est pas nul , on ait

y=:A-h/.FH-f*.Z-f-r.5-hetc.

X, Y, Z, etc. étant des fonctions périodiques de t, qui renferment les i arbitraires c, c, c, etc. et les puissances de (, dans cette expression de y, s'étendant à l'infini par les approximations successives. 11 est visible que les coefficients de ces puissances décroîtront avec d'autant plus de rapidité que a sera plus petit : dans la théorie des mouvements des corps célestes, a exprime Tordre des forces perturbatrices, relativement aux forces principales qui les animent.

Si l'on substitue la valeur précédente de y, dans la fonction

■j^ -f-P-4-a.Q, elle prendra cette forme, k-{-]it-hk''t*-\- etc.

ky k\ k", etc. étant des fonctions périodiques de t; mais, par la supposition , la valeur de y satisfait à l'équation différentielle

o=-^-hP-ha.Q;

on doit donc avoir identiquement

o = k-^k't-\-k'V'i-etc.

Si k, liy k\ etc. n'étaient pas nuls, cette équation donnerait, par le retour des suites, l'arc f, en fonction de sinus et de cosinus d'angles proportionnels à t; en supposant donc a infiniment petit, on aurait t égal à une fonction finie de sinus et de cosinus d'angles semblables, ce qui est impossible; ainsi les fonctions A% k'y etc. sont identiquement nulles.

Maintenant, si l'arc < n'est élevé qu'à la première puissance, sous les signes sinus et cosinus, comme cela a lieu dans la théorie des mouvements célestes, cet arc ne sera point produit par les différences successives de y; en substituant donc la valeur précédente de j, dans la fonction -^ +P+a.Q, la fonction k+kt+ etc.

dans laquelle elle se transforme, ne contiendra l'arc t, hors des signes 5m. et cos. qu'autant qu'il est déjà renfermé dans j; ainsi.