PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

ensuite 6 en t, on aura la valeur de y sans arcs de cercle hors des signes périodiques, lorsque cela est possible. Si cette valeur en conservait encore, ce serait une preuve qu'ils existent dans l'intégrale rigoureuse.

44. Considérons présentement un nombre quelconque n d'équations différentielles ,

o= ^. -t-P-4-a.Q, o=-^ -4-F-t-a.Q', etc.

P, Q, P\ Q, etc. étant des fonctions de j, y, etc. de leurs différentielles jusqu'à l'ordre i — i, et de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement à la variable t dont la différence est supposée constante. Supposons que les intégrales approchées de ces équations soient

Y=X-{-t.Y-\-t\Z -\-t\S-hetc.

etc.

X, Y, Z, etc. A , Y^, Z^, etc. étant des fonctions périodiques de t, et renfermant les in arbitraires c, c, c, etc. on aura, comme dans le numéro précédent ,

o=:r-4-ô.rvr— 2Z,

o = Z'-hd.Z"^T—3S, etc.

La valeur de y donnera pareillement des équations de cette forme :

o=jç;-hô.A;— y, o=:r-4-ô.r;-4-A;-2Z,

etc.

Les valeurs dej", j^ etc. fournissent des équations semblables.

On déterminera par ces diverses équations, en choisissant les plus simples et les plus approchées, les valeurs de c, c, c en fonctions de ; en substituant ces valeurs dans -X, X , etc, et en y changeant ensuite B en t, on aura les valeurs de y, y, etc. sans arcs de cercle hors des signes périodiques, lorsque cela est possible. 45. Reprenons la méthode que nous avons exposée dans ie n"* 40. Il en résulte que si, au lieu de supposer les paramètres c, c, c\ etc. constants, on les fait varier en sorte que Ton ait

dc= — at/f.{FQ-4-F'Q'-i-elc.},

etc.

on aura toujours les in intégrales de Tordre i — i,

c=V, c=r, c''=V\ etc.

comme dans le cas de a nul; d'où il sujt que non-seulement les intégrales finies, mais encore toutes les équations dans lesquelles il n'entrera que des différences inférieures à Tordre i, conserveront la même forme dans le cas de a nul et dans celui de a quel* conque, puisque ces équations peuvent résulter de la comparaison seule des intégrales précédentes de Tordre i — i. On pourra donc également, dans ces deux cas, différentier i — i fois de suite, les intégrales finies, sans faire varier c, c, etc. et, comme on est libre de faire varier tout , à la fois , il en résultera des équations de condition entre les paramètres c, c, etc. et leurs différences. Dans les deux cas de a nul et de a quelconque, les valeurs dey, y, etc. et de leurs différences jusqu'à Tordre i — i inclusivement, sont les mêmes fonctions de t et des paramètres c, c, c, etc. Soit donc F une fonction quelconque des variables y, y, y", etc. et de leurs différentielles inférieures à Tordre i — ^i, et nommons Tla fonction de t dans laquelle elle se change, lorsque Ton y substitue, au lieu de ces variables et de leurs différences, leurs valeurs en (.