PREMIÈRE PARTIE. LIVRE DEUXIÈME

On pourra dîfférentier Téquation Y=T en y regardant les paramètres c, c, c, etc. comme constants; on pourra même ne prendre que la différence partielle de Y relativement à une seule ou à plusieurs des variables y, y, etc. pourvu que l'on ne fasse varier dans Tque ce qui varie avec elles. Dans toutes ces différentiations les paramètres c, c, c, etc. peuvent toujours être traités comme constants, puisqu'en substituant pour y, y, etc. et leurs diflerences, leurs valeurs en t, on aura des équations identiquement nulles, dans les deux cas de a nul et de a quelconque.

Lorsque les équations différentielles sont de Tordre i — i, il n'est plus permis, en les différentiant, de traiter les paramètres c, c, c, etc. comme constants. Pour différentier ces équations, considérons l'équation (^=0, (p étant une fonction différentielle de Tordre i — 1, et qui renferme les paramètres c, c, c\ etc. soit 3 (p la différence de cette fonction prise en regardant c, c, comme constants, ainsi que les différences d'~y, d'^^y, etc. Soit S le

coefficient de , f^ , dans la différence entière de (p : soit 5' le

d'y' coefficient de , '^^ , dans cette même différence, et ainsi du reste.

L'équation (p = o différentiée donnera

H- etc.

Ai y

en substituant, au lieu de -77^, sa valeur— (/t. |P-ha. Q| ; au lieu

de ■ ,-[, , sa valeur — dt. jP'n-a.Q'l, etc. on aura

—dt. \SP-^S'P-^eic.\—(xdt. t5Q^-5'Q'^-etc. j. [t]

Dans la supposition de a nul, les paramètres c, c, c", etc. sont constants; on a ainsi

o=8(^—dt.\SP-^S'F-^etc.\

Si Ton substitue dans cette équation , au lieu de c, c, c, etc. leurs valeurs V, V, V\ etc. on aura une équation différentielle de Tordre i — i, sans arbitraires, ce qui est impossible, à moins que cette équation ne soit identiquement nulle. La fonction

S(p— tZt.{5P-+-5'P'-4-etc.j

devient donc identiquement nulle en vertu des équations c=Vy c=V\ etc. et comme ces équations ont encore lieu lorsque les paramètres c, c, c, etc. sont variables, il est visible que dans ce cas la fonction précédente est eucore identiquement nulle ; l'équation [t] deviendra donc

^^lë)-^'-^!"^)-^^'-^^*^-

— aJf.{5Q-4-W-i-etc.j. [x)

On voit ainsi que pour différentier Téquation ^ = o il suffit de faire varier dans (p les paramètres c, c, etc. et les différences d'^^y, d^'^'y, etc. et de substituer, après les différentiations, — aQ,

— olQ, etc. au lieu des quantités -7^, -yy^, etc.

Soit >|/=o, une équation finie entre y, y, etc. et la variable t, si Ton désigne par S \^, S*>|/, etc. les différences successives de >// prises en regardant c, c, etc. comme constants, on aura, par ce qui précède, dans le cas même où c, c, etc. sont variables, les équations suivantes :