PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

étant la dififérentielle de >|^'(r') divisée par d.r*. L'équation [R)

donne -^— égal à une fonction de r, plus à une fonction dépendante de la force perturbatrice. Si l'on multiplie cette équation par 2 rdr et qu'ensuite on l'intègre, on aura , égal à une fonction de r, plus à une fonction dépendante de la force perturbatrice. En substituant ces valeurs de —j— et de . dans l'expression précédente de -y— -+-7i*tt, la fonction de r, indépendante de

la force perturbatrice, disparaîtra d'elle-même, puisqu'elle est identiquement nulle lorsque cette force est nulle; on aura donc

la valeur de -7-7- -hifu, en substituant dans son expression, au d* r^ r* dr*

lieu de —j— et de , , les parties de leurs expressions qui dépendent de la force perturbatrice. Or, en n'ayant égard qu'à ces parties, l'équation [R) et son intégrale donnent

àr'dr' Q m J

partant

ddu IF

71* M =: — 2 Q . x|/' ( r» ) — 8 . >|/" ( r' ) ./Q . r rf r.

Maintenant, de l'équation u = yl/[r*) on tire e/u=:2 rrfr.>|/'(r*) ; celle-ci r*=(p (u), donne 2 rdr=^du. ^ (")» ^* P^^ conséquent,

En différentiant cette dernière équation, et substituant ^'(u) au

i« 1 2rdr

lieu de -^ — , on aura

(p" (tt) étant égal à '^ , de même que 9' (u) est égal à '^^ -

Cela posé, si ron fait

u = ecos. [nt-he — *ts)-\-8u, Téquation diflFérentielle en u deviendra

et si Ton néglige le carré de la force perturbatrice, a pourra être supposé égal à e.cos. (zif-f-e — tsr) dans les termes dépendants de Q.

La valeur de - trouvée dans le n*" 22 donne, en portant la précision jusqu'aux quantités de Tordre e* inclusivement,

r=a. {1-4- e* — u. (1 — \e^) — u' — \u^\ ; d'où l'on tire

r*z=za'.ji-h2e' — 2 a.(i — |c*) — u* — u'\=i(p[n).

Si l'on substitue cette valeur de (^ (u) dans l'équation diflFérentielle en 5tt, et que l'on restitue, au lieu de Q, sa valeur

aux quantités près de l'ordre e \

= ^+«'.âa {X')

^.//^J^ sin.(nf+e— 1!t).[i+^.cos. (/if+e— tsr)]. 2./diî+r.f-7— j| 1 -

Lorsque l'on aura déterminé 5 u au moyen de cette équation dif-