PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

férentielle, on aura 5 r, en dififérentiant l'expression de rpar rapport à la caractéristique 5 , ce qui donne

8r=—a8u.\i-{-\e*+2e.cos.[nt+e—^)+je\cos.[2nt+ie-'2^)\. Cette valeur de 5 r donnera la valeur de 5 v au moyen de la formule ( Y) du numéro précédent.

Il nous reste à déterminer 55; or si Ton compare les formules (A) et (Z) du numéro précédent, on voit que èr se change en §5,

en changeant dans son expression, 2.fdR-hr. l-i—) en (-^);

d'où il suit que pour avoir 5 5 il suffit de faire ce changement dans l'équation dififérentielle en 5 u, et de substituer ensuite la valeur de 5u donnée par cette équation, et que nous désignerons par 5 u dans l'expression de 5 r. On aura ainsi

j.j i+^é''-e.cos.[nt+e—^)—Ye\cos.[2nt+2 e—2^)\.l-T-\

^.fndtAsin. [nt+e—'ts) . } i+e.cos. ('î'+s— 'cr) |.l -i— 1| , (Z')

ès=—aBu.\i'\-\e*+2e.cos.[nt+e—^)+^e\cos.[2nt+2e—2^]\.

Le système des équations (X), (Y), (Z') donnera d'une manière fort simple le mouvement troublé de m, en n'ayant égard qu'à la première puissance de la force perturbatrice. La considération des termes dus à cette puissance étant à très-peu près suffisante dans la théorie des planètes, nous allons en tirer des formules commodes pour déterminer le mouvement de ces corps.

48. Il est nécessaire, pour cela, de développer la fonction R en série. Si l'on n'a égard qu'à faction de m sur m', on a, par le n*^ 46,

p m\[xx-\-yy-\-zz') m'

Cette fonction est entièrement indépendante de la position du plan des x et de j; car le radical \J[x — a?)*-h [y' — j)'-t- [z — "zf^ exprimant la distance de m à m', il en est indépendant; la fonction x^+y^+z^ + x^+y^+z^—ixx — lyy —izz tn est donc pareillement indépendante; mais les carrés x^+y^ + z\ et x^+y*+z^ des rayons vecteurs ne dépendent point de cette position; la quantité XX +yy +ZZ n'en dépend donc pas; et, par conséquent, la fonction R en est indépendante. Supposons dans cette fonction

x=^r. COS. V, y = ^' sin . v , x= r. COS. V, y = r. sin . v; on aura

__ m\\rr,cos.[v'—v)-\-zz'\ m'

( r '+:'') ' \ r'—2rr\cos.{v'—v)+r''+{z'—zY j '

Les orbes des planètes étant presque circulaires et peu inclinés les uns aux autres, on peut choisir le plan des x et des y de manière que z et z soient très-petits. Dans ce cas , r et r diffèrent très-peu des demi-grands axes a et a des orbes elliptiques; nous supposerons donc

r=a. (i-huj , r=a. (i-ha') ,

a et u' étant des petites quantités. Les angles v et v différant peu des longitudes moyennes zif-f-e et nf-f-e', nous supposerons

r = nf -f- e -f- V , v=nt'-h c'-f- r/,

V et v/ étant des angles peu considérables. Ainsi, en réduisant R dans une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de u , v^, z, tt', v', et z, cette série sera fort convergente.

Soit

-t; • COS. ( nt—nt+e—e ) — j a^—iad. cos. [nt—nt+e! — e) -fa* | *

= |.4w+i"'.cos.(n'f-rat+e'— e) + i4'".cx)s.2 (n'(-îi( + e'— e) +i4<''. cos.3(«'f — nf 4- e'— e) + etc.