PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

s étant la tangente de la latitude de m, le coefficient du sinus ou du cosinus d'un angle tel que^. (nf-f-e), est exprimé par une série dont le premier terme est de Tordre/; le second terme, de Tordre f-h^ ; le troisième terme, de Tordre /h- 4, et ainsi de suite. Il en est de même du coefficient du sinus ou du cosinus de Tangle f. [nt-he)^ dans les expressions de u', v^, z. Il suit de là que i et ï étant supposés positifs, et ï plus grand que i, le coefficient /r, dans le terme mk. cos. (iVf — i/ifH-il) , est de Tordre ï — i, et que dans la série qui Texprime, le premier terme est de Tordre ï — i, le second terme est de Tordre ï — i -f- 2, et ainsi de suite; en sorte que cette série est fort convergente. Si i était plus grand que T, les termes de la série seraient successivement des ordres i — i', i — r-j-2, etc.

Nommons tsr la longitude du périhélie de Torbite de m , et celle de son nœud; nommons pareillement 'cr' la longitude du périhélie de Torbite de m', et 0' celle de son nœud ; ces longitudes étant comptées sur un plan très-peu incliné à celui des orbites. Il résulte des formules du n° 22 que, dans les expressions de u , v et z, Tangle nf-f-e est toujours accompagné de — tsr, ou de — 0, et que, dans les expressions de u', v] et z, Tangle nt-\-t est toujours accompagné de — tsr', ou de — 0'; d'où il suit que le terme m'fc . cos. { ïrit — mf -h i ) est de cette forme :

mk. COS. [int — int-hie — ie — g'cs — ^W — ^"0 — ^'*0') ,

g, g, g\ g"' étant des nombres entiers positifs ou négatifs, et tels que Ton a

V • t 1/ tn

Cela résulte encore de ce que la valeur de jR et ses diffi^rents termes sont indépendants de la position de la droite d'où Ton compte les longitudes. De plus, dans les formules du n** 22, le coefficient du sinus et du cosinus de Tangle tsr a toujours pour facteur