TOME I

lexccntricité e de l'orbite de m; le coefficient du sînus et du cosinus de l'angle i^ a pour facteur le carré e^ de cette excentricité, et ainsi de suite. Pareillement le coefficient du sinus et du cosinus de l'angle 6 a pour facteur tang. (y 9)' 9 ^^^^ l'inclinaison de l'orbite de m sur le plan fixe. Le coefficient du sinus et du cosinus de l'angle 20 a pour facteur tang*. (y (p), et ainsi du reste; d'où il résulte que le coefficient k a pour facteur ^. è^\ tangî'^. (i ^ ). tang^. (- ^') ; les nombres ^, ^', ^ , g" étant pris positivement dans les exposants de ce facteur. Si tous ces nombres sont positifs en eux-mêmes, ce facteur sera de l'ordre ï — i en vertu de l'équation

niais si l'un d'eux, tel que g, est négatif et égal à — g, ce facteur sera de l'ordre i — i-h2g. En ne conservant donc, parmi les termes de R, que ceux qui, dépendants de l'angle int — int, sont de l'ordre i — i , et en rejetant tous ceux qui , dépendants du même angle, sont des ordres i' — 1-+- 2 , i — i-f-4i etc. l'expression de R sera composée de termes de la forme

H.es.e9\t3ing9\ (|(p) . tang^. (|9') .cos. [int—int-i-ie — ie

—g^—g^'—gB—g^B').

H étant un coefficient indépendant des excentricités et des inclinaisons des orbites, et les nombres g, g, g\ g"' étant tous positifs et tels que leur somme soit égale à i — i.

Si l'on substitue dans jR, a. (i-+-a ) au lieu de r, on aura

\dr ) \ "û /

Si dans cette même fonction on substitue, au lieu de a, v et Zy leurs valeurs données par les formules du n° 22, on aura

dR\(dR

dv)~\de

pourvu que l'on suppose e — tsr et e — B constants dans la difFé-

rentielie de R prise par rapport à e, car alors a , v et z sont constants dans cette dififérentielle; et comme on aiv=nt+e+v^, il est clair que Téquation précédente a lieu. On pourra donc obtenir facilement les valeurs de r. (-7—) et de (-t-) qui entrent dans

les équations dififérentielles des numéros précédents, lorsque l'on aura la valeur de R développée en série de cosinus d'anges croissant proportionnellement au temps t. La différentielle dR sera pareillement très-facile à déterminer, en observant de ne faire varier dans R que l'angle n t, et de supposer l'angle nt constant ; puisque dR est la différence de R, prise en supposant constantes les coordonnées de m qui sont fonctions de nt.

49, La difficulté du développement de R en série se réduit à former les quantités A^'\ B^'\ et leurs différences prises soit relativement à a, soit relativement à a. Pour cela considérons généralement la fonction (a' — 2 aa. cos. ô-f-a')""', et développons-la suivant les cosinus de l'angle B et de s^s multiples. Si l'on fait

-7=a, elle deviendra a ~". (1 — 2 a.cos. 0-+-a')""'. Soit (1 — 2a.cos. ÔH-aM—'^T-è -4-i .cos. 0-+-i .cos. 2

H-i . cos, 3 H- etc-

b , b ^ b y etc. étant des fonctions de a et de s. Si l'on prend

les différences logarithmiques des deux membres de cette équation par rapport à la variable 6, on aura

— 2s.a.sin.6 — b .sin.O — 26 .sm.26 — etc.

1 — 2a.cos. ô-+-a* |. 6 -f-6 . cos, 6 -h b . ces. 2 ô -t- etc.

En multipliant en croix et comparant les cosinus semblables, on trouve généralement

on aura ainsi h ^ h ^ etc. lorsque Ton connaîtra h' et 6 .

Si Ton change s en 5-j-i dans Fexpression précédente de (i — 2a. COS. ô-f-a')~', on aura

(i — 2 a.cos.0-ha*)""'"~' = T. fe -hb .cos. 0-t-è .cos.2Ô

-f-6 .COS. 3 ô -h etc.

En multipliant les deux membres de cette équation par

1— 2a.cos.ô+a% et en substituant, au lieu de (i— 2a.cos.0+a') ,

sa valeur en série, on aura

^.0 -1-6 .COS. 0-h6 . cos. 2 -f- etc. =

(i— 2a.cos.0+a*). 4"-è' +6 .cos.ô+è' .cos. 20 + 6' .cos. 30+etc.; d*où l'on tire, en comparant les cosinus semblables,

6 =z(i-f-aM.6 — a. 6 — a. 6

i ^ ' i-M i-Hi i-hi

La formule (a) donne

.. i.(iH-aM.6' — (i-h-5).a6*

i^«-^»i ^ ^ J4-1 v / s-hi

l'expression précédente de 6/'^ deviendra ainsi

('^ 5-Hl * ' 5-1-1

En changeant i en i-f-i dans cette équation, on aura

et si l'on substitue, au lieu de 6 , sa valeur précédente, on aura