PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIEME

k.c* ' ~ et k.c~ ' ~ est a/c.cos. lô; ce sera la valeur de b ' . COS. i ô; on aura donc 6 = 2 fc. Maintenant Texpression de X""* est égale au produit des deux séries.

i-f-^a.c^' * H ^--^--i-tf.c^^- * -H etc.

-^6 \/~i 5.(5+1) , — ofiv/ITî

H-5a.c '^^ ^H ^— ^--^.a\c ^'^^ *-+-etc.

en multipliant donc ces deux séries l'une par l'autre, on aura dans le cas de i= o,

jt=i-f-5\a«-f-(^^^y.a*-hetc.

et dans le cas de i= 1 ,

j^^«L+, /-(^+0 .a.-^M£±i) /-(^+0-(^ ±Hl.«>+etc.i; ( 1.2 1.2 1.3.0 )

partant

6"':^.a.L+.. ^-(^+'^ «'+i:i^±il. ^-(^+'^t+^^ a>-f-etc.i.

Pour que ces séries soient convergentes, il faut que a soit moindre que l'unité; c'est ce que l'on peut toujours faire en prenant pour a le rapport de la plus petite des distances a et a à la plus grande;

ainsi, ayant supposé »=— ,, nous supposerons a plus petit que a.

Dans la théorie du mouvement des corps m, m', m", etc. on

a besoin de connaître les valeurs de h et de 6 lorsque s=^\

et 5==-|-. Dans ces deux cas, ces valeurs sont peu convergentes si a n'est pas une petite fraction. Ces séries convergent avec plus de rapidité lorsque s = — y, et l'on a

T'!.=.+(T)'..-+(^0'''+(7n)''-+(TOT)'«-+"-

—1 I a. 4 i a.'i.O 4-6 a. 4.6.8 4.6.8 a.4.6.o.io )

Dans la théorie des planètes et des satellites il suffira de prendre la somme des onze ou douze premiers termes, en négligeant les termes suivants, ou, plus exactement, en les sommant comme une progression géométrique dont la raison est i — a'. Lorsque Ton

aura ainsi déterminé b , et 6^^, on aura 6, en faisant i = o,

et 5 = — Y, dans la formule (6) , et Ton trouvera

Si dans la formule (c) on suppose î = i, et 5 = — y, on aura

Au moyen de ces valeurs de è, et de è^, on aura par les for-

mules précédentes les valeurs de è^. ^^ ^^ ^^^ différences partielles, quel que soit le nombre i; et Ton en conclura les valeurs

de b^ et de ses diflTérences. Les valeurs de b^ et de b^ peuvent

être déterminées fort simplement par les formules suivantes :

b.=T—hr.. ^3= — 3.

Maintenant, pour avoir les quantités A^'\ A^'\ etc, et leurs différences, on observera que par le numéro précédent la série

^.A^'^-hA^'K cos.ô-f-i^*^. COS. 2Ô-h etc.

résulte du développement de la fonction

a.cos.0 / , , /j , N\~T 7; (a* — 2 aa. cos.6/-f-a') *,