PREMIERE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

d'où l'on tire

\da )~a''da ' \rfa» )~a'''da* '

De plus, £'*' étant une fonction homogène de a et de a, de la dimension — 3 , on a

d'où il est facile de conclure les différences partielles de B^^ prises relativement à a , au moyen de ses différences partielles en a.

Dans la théorie des perturbations de m, par l'action de m, les valeurs de A^^ et de B^^ sont les mêmes que ci-dessus, à l'ex-

ception de A^'\ qui, dans cette théorie, devient — r-b,.

Ainsi le calcul des valeurs de A^'\ B^'\ et de leurs différences, sert à la fois pour les théories des deux corps m et m.

50. Après cette digression sur le développement de R en série, reprenons les équations différentielles {X'), (F), (Z') des n*** 46 et 47, et déterminons à leur moyen les valeurs de Sr, 8v et 8s, en portant la précision jusqu'aux quantités de l'ordre des excentricités et des inclinaisons des orbites.

Si, dans les orbes elliptiques, on suppose

on aura, par le n*" 22,

= — e. COS. [nt-he — "ts), «= — e. cos. [nt h- e — 'Bt'), v= 2 e. sin. (zif-he — 'cr), r'= 2 e.sin. [111-+- e — 'cr'),

nt-h€, nt-he\ étant les longitudes moyennes de m et de m! ; a et a étant les demi-grands axes de leurs orbites ; eete étant les rap-

ports des excentricités aux demi-grands axes; enfin, tzr etisT' étant les longitudes de leurs périhélies. Toutes ces longitudes peuvent être rapportées indifféremment aux plans mêmes des orbites, ou à un plan qui leur est fort peu incliné, puisque Ton néglige les quantités de Tordre des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons. En substituant les valeurs précédentes dans fexpression de R du n° 48, on aura

R = !l.. ^.A^^. COS. i{nt—nt-i-e—e)

^ . 2 .ja'.(J^)-2 (i-i).^^'-^) j.e'. COS. \i[n't-nt+e'-^) + nt+e'-zr'\;

le signe 2 des intégrales finies s étendant à toutes les valeurs entières positives et négatives de i, en y comprenant la valeur i=o. De là on tire

^-'j + î'-^-C^) -^T- 2.|a.(J^)+S.^«|.cos.iKf-n^+e'-e) ~ 7 -r • (rfZ~j-^3a.(^ j.e. COS. (/if-4-e— isr)

— zrAda .

û • (ti— )--H-(2i+i).a.(T — )) , ,, , ,

le signe intégral S s'étendant, comme dans ce qui suit, à toutes les valeurs entières, positives ou négatives de i, la seule valeur