PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

exceptée. L'équation différentielle en 8u deviendra donc, en multipliant la valeur de (-j-) par /l'a' qui est égal à Tunité,

— 7- \-n\du — m./i*. — TT.y.sin. 7if-f-e — II)

dt* a" ' ^ '

^!^^-^.aa.B^'Ky.sïn.{nt-+-e — H)

.aa.^.B^'-'\y.sm.\i{nt — nf-f-e' — e)-^nt-he — IIj;

d'où l'on tire en intégrant, et en observant que, par le n"" 47, 8s = — a. 5 w',

5= ; — Ti.-Tr.y.sin.f/if+e— n

T — .B^'Knt.y.cos.[nt+e—U)

H .S.— —7 77 TTTT.y.sin. nnf— nf+e— e +nf+e— n .

Pour avoir la latitude de m au-dessus d'un plan fixe peu incliné à celui de son orbite primitive, en nommant (p l'inclinaison de cette orbite sur le plan fixe, et B la longitude de son nœud ascendant sur le même plan, il suffira d'ajouter à §5 la quantité tang.^.sin.(t; — 0),ou tang. ^.sin.(nf-f-e — 0),en négligeant l'excentricité de l'orbite. Nommons (p' et & ce que deviennent ^ et 9 relativement à m : si m était en mouvement sur l'orbite primitive de m, la tangente de sa latitude serait tang, (p\ sin. [n (-f- c — 0'); elle serait tang. ^. sin.(nf-he — 0), si m continuait de se mouvoir sur son orbite primitive. La difierence de ces deux tangentes est à très-peu près la tangente de la latitude de m au-dessus du plan de son orbite primitive, en le supposant mû sur le plan de l'orbite primitive de m; on a donc

tang.(p'.sin.(/if+e— 0')--tang.^.sin.(/if+e— 0)=y.sin.(nf+e— n).

Soit

tang. ^ . sin, d=p, tang. ^'. sin. d'=p,

tang. (p . cos, d=q, tang. <p\ cos. 6'= q ; on aura

y . sin. n =p' — p , y . cos. 11= ç' — q ;

et par conséquent, si Ton désigne par s la latitude de m au-dessus du plan fixe, on aura à très-peu près 5=^.sin.(n(+e)— p.cos. (zif+e)

-. — . (/>'— p) . JB^'^/if .sin. {nt+e)

-. — .[q—q).B^'\nt. COS. irit+t)

— ^Z^ • -Jr i (9-7) .sin. [jt!t+ey[jjl-p). COS. [nt+e] \

:^, ^\ Tr7i'Sm.\ilnt'-nt+e-e)+nt+e\

, ^ ^.. Trrr.cos. i(/if— /if+e— e)+nf+e

52. Rassemblons présentement les formules que nous venons de trouver. Nommons (r) et [v) les parties du rayon vecteur et de la longitude v sur Torbite qui dépendent du mouvement elliptique, on aura

La valeur précédente de s sera la latitude de m au-dessus du plan fixe; maïs il sera plus exact d'employer, au lieu de ses deux premiers termes, qui sont indépendants de m', la valeur de la latitude qui aurait lieu dans le cas où m ne quitterait point le plan de son orbite primitive. Ces expressions renferment toute la théorie des planètes lorsque Ton néglige les carrés et les produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, ce qui est le plus souvent